Из точки A, лежащей вне окружности, проведены два луча AC и AK, которые пересекают окружность в точках B, C и M, K соответственно, начиная от точки A. Даны длины отрезков AB=2,…

Ниже пошаговое решение с использованием принципа «Сила точки» (Power of a Point).

Дано:

• Внешняя точка A, две секанты через A пересекают окружность в парах точек: на первом секанте B и C (порядок: A → B → C), на втором M и K (порядок: A → M → K).
• AB = 2, AC = 8.
• AM = AK − 6.

Задача: найти AK и AM.

Шаг 1. Применим силу точки для внешней точки A. Для любой секанты через внешнюю точку A выполняется равенство: AB · AC = AM · AK.

Подставим данные: 2 · 8 = AM · AK 16 = AM · AK.

Шаг 2. Введите переменные для неизвестных. Пусть AK = x. Тогда AM = x − 6. Тогда получаем квадратное уравнение: (x − 6) · x = 16 x^2 − 6x − 16 = 0.

Шаг 3. Решим квадратное уравнение. Дискриминант: D = (−6)^2 − 4 · 1 · (−16) = 36 + 64 = 100. Корни: x = [6 ± sqrt(100)] / 2 = [6 ± 10] / 2. Получаем x1 = (6 + 10)/2 = 8, x2 = (6 − 10)/2 = −2.

Поскольку длина не может быть отрицательной, AK = 8. Тогда AM = AK − 6 = 8 − 6 = 2.

Шаг 4. Проверка. AM · AK = 2 · 8 = 16, AB · AC = 2 · 8 = 16 — совпадает, проверка пройдена.

Ответ:

• AK = 8
• AM = 2

Дополнительное замечание (по возможности интересной похожености): BC = AC − AB = 8 − 2 = 6, и MK = AK − AM = 8 − 2 = 6, то есть внутренняя часть обоих секантов равна 6 в данном конфигурации. Это следствие симметрии, когда AM = AB в этом примере.