Контрольная работа №3 Вариант 1 1. Найдите координаты и длину вектора \vec{a}, если \vec{a} = \frac{1}{3}\vec{m} - \vec{n}, \quad \vec{m} = \{3; 6\}, \quad \vec{n} = \{2; -2\}. 1. Треугольник MNK задан координатами своих вершин: M(-6; 1), \ N(2; 4), \ K(2; -2). а) Докажите, что \triangle MNK — равнобедренный. б) Найдите высоту, проведенную из вершины M. 2. Определите вид треугольника ABC, если A(3; 9), \ B(0; 6), \ C(4; 2).

Решение для Задачи Контрольной работы №3, Вариант 1. 1) Найдите координаты и длину вектора a, если a = (1/3)m − n, m = {3; 6}, n = {2; −2}. - Вычислим (1/3)m: (1/3)·(3, 6) = (1, 2). - Вычислим a: a = (1, 2) − (2, −2) = (1−2, 2−(−2)) = (−1, 4). - Длина вектора a: |a| = sqrt((-1)^2 + 4^2) = sqrt(1 + 16) = sqrt(17). Ответ: a = (−1, 4); |a| = sqrt(17). 2) Треугольник MNK задан координатами своих вершин: M(−6; 1), N(2; 4), K(2; −2). а) Докажите, что треугольник MNK равнобедренный. - Длина MN: d(M,N) = sqrt((2−(−6))^2 + (4−1)^2) = sqrt(8^2 + 3^2) = sqrt(64 + 9) = sqrt(73). - Длина MK: d(M,K) = sqrt((2−(−6))^2 + ((−2)−1)^2) = sqrt(8^2 + (−3)^2) = sqrt(64 + 9) = sqrt(73). - Длина NK: d(N,K) = sqrt((2−2)^2 + (−2−4)^2) = sqrt(0 + (−6)^2) = 6. Получаем MN = MK = sqrt(73). Следовательно, стороны, выходящие из вершины M, равны, треугольник равнобедренный (основание NK). б) Найдите высоту, проведённую из вершины M. - Отрезок NK лежит на прямой x = 2 (координаты N и K имеют x = 2). - Высота из вершины M к линии NK будет перпендикулярна NK, то есть быть горизонтальной. Следовательно, высота HM имеет направление по оси x, а её длина равна горизонтальному расстоянию от M до прямой x = 2: HM = |x_M − 2| = |−6 − 2| = 8. - Точка основания высоты H — пересечение прямой через M, перпендикулярной NK, с NK. Поскольку NK вертикален, H имеет координаты (2, 1) (та же y, что и у M). Ответ: высота из M равна 8, точка основания H = (2, 1), высота лежит на линии y = 1. 3) Определите вид треугольника ABC, если A(3; 9), B(0; 6), C(4; 2). - AB = distance(A,B) = sqrt((3−0)^2 + (9−6)^2) = sqrt(3^2 + 3^2) = sqrt(18) = 3√2. - BC = distance(B,C) = sqrt((0−4)^2 + (6−2)^2) = sqrt((-4)^2 + 4^2) = sqrt(32) = 4√2. - AC = distance(A,C) = sqrt((3−4)^2 + (9−2)^2) = sqrt((-1)^2 + 7^2) = sqrt(50) = 5√2. Проверим соотношение квадратов сторон: AB^2 + BC^2 = (18) + (32) = 50 = AC^2. Значит угол при вершине B равен 90°. Следовательно, треугольник ABC прямоугольный (острый и тупой угол не образуются). Ответ: ABC — прямоугольный треугольник, угол B равен 90°.