В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C угол B равен 60∘ . Найдите отношение AD:DC , где D — точка пересечения серединного перпендикуляра к гипотенузе с катетом AC .

Задача: В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом в C угол B = 60°. Пусть D — точка пересечения серединного перпендикуляра к гипотенузе AB с катетом AC. Найдите отношение AD:DC.

Решение (пошагово, с объяснениями)

1. Введение координат

• Поместим треугольник так, чтобы C был в начале координат, CAT по оси x, CB по оси y: C = (0,0), A = (a,0), B = (0,b), где a > 0, b > 0.
• Тогда AC = a и BC = b, а гипотенуза AB имеет длину sqrt(a^2 + b^2).

2. Использование условия угла B = 60°

• Угол B — это угол между векторами BA и BC, где: BA = A − B = (a, −b), BC = C − B = (0, −b).
• Косинус угла B даётся формулой: cos B = (BA · BC) / (|BA||BC|) = (b^2) / ( sqrt(a^2 + b^2) · b ) = b / sqrt(a^2 + b^2).
• Так как B = 60°, cos B = 1/2. Значит: b / sqrt(a^2 + b^2) = 1/2 ⇒ 4b^2 = a^2 + b^2 ⇒ a^2 = 3b^2 ⇒ a = √3 · b.

3. Серадинная перпендикуляр к гипотенузе AB

• М midpoint M гипотенузы AB: M = ((a+0)/2, (0+b)/2) = (a/2, b/2).
• Направление AB: вектор AB = B − A = (−a, b), поэтомуSlope AB = (b−0)/(0−a) = −b/a.
• Перпендикуляр к AB имеет коэффициент наклона m_perp = +a/b. Так как a = √3 b, m_perp = √3.
• Уравнение серединного перпендикуляра (через M) будет: y − b/2 = √3 (x − a/2).

4. Нахождение точки D на AC

• Катет AC лежит на оси x, т.е. y = 0. Подставим y = 0 в уравнение перпендикуляра: −b/2 = √3 (x_D − a/2) ⇒ x_D − a/2 = −b/(2√3) ⇒ x_D = a/2 − b/(2√3).
• Подставим a = √3 b: x_D = (√3 b)/2 − b/(2√3) = b/2 (√3 − 1/√3) = b/2 · (2/√3) = b/√3.
• Значит D = (b/√3, 0) на AC.

5. Длины AD и DC и их отношение

• DC — расстояние от C(0,0) до D на оси x: DC = x_D = b/√3.
• AD — расстояние от A(a,0) до D(b/√3,0): AD = a − x_D = √3 b − b/√3 = b(√3 − 1/√3) = 2b/√3.
• Отношение AD:DC = (2b/√3) : (b/√3) = 2 : 1.

Ответ: AD:DC = 2:1.