Задание №11421 ЕГЭ Профильной математике

ОДЗ:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{2x^2+3x-5}{x+1}>0\\ x+1\ne 0\end{array}\right.$

Найдем нули числителя дроби из первого неравенства в системе:

$D=b^2-4ac=9-4·2·(-5)=9+40=49=7^2$

$\left[\begin{array}{c}{x}_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-3+7}{4}=\frac{4}{4}=1\\ x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-3-7}{4}=-\frac{10}{4}=-2,5\end{array}\right.$

Решим первое неравенство из нашей системы:

$4^x-6·2^x+8\ge 0$

Введем замену: $a=2^x, a>0$

$a^2-6a+8\ge 0$

$(a-2)(a-4)\ge 0$

Обратная замена:

$\left[\begin{array}{c}0⩽2^x⩽2\\ 2^x⩾4\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{c}x⩽1\\ x⩾2\end{array}\right.$

Решим второе неравенство:

${\log }_3\left(\frac{2x^2+3x-5}{x+1}\right)⩽1$

${\log }_3\left(\frac{2x^2+3x-5}{x+1}\right)⩽{\log }_3\left(3\right)$

Основание логарифма больше единицы, поэтому знак неравенства не меняем.

$\frac{2x^2+3x-5}{x+1}⩽3$

$\frac{2x^2+3x-5-3(x+1)}{x+1}⩽0$

$\frac{2x^2+3x-5-3x-3}{x+1}⩽0$

$\frac{2x^2-8}{x+1}⩽0$

$\frac{2(x-2)(x+2)}{x+1}⩽0$

Совместим решения первого и второго неравенств, чтобы получить решение системы:

Нужно еще не забыть учесть ОДЗ:

Ответ:

$x\in (-2,5; -2] \cup \left\{2\right\}.$