Задание №20331 ЕГЭ Профильной математике

Сразу сделаем замену $2^{-х} =а$, причем а > 0

Запишим ОДЗ:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{х+6}{4}>0\\ х\ne 0\\ 0,25{х}^2\ne 1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}х>-6\\ х\ne 0\\ {х}^2\ne 4\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}х>-6\\ х\ne 0\\ х\ne \pm 2\end{array}\right.$

Далее рассмортим первое неравенство. Для того чтобы не расписывать 2 случая, разберем общий, то есть занесем 5 в числитель и решим это неравенство:

$$\begin{gathered} \frac{320-{а}^2}{64-а}\ge 5 \\ \frac{{а}^2-320}{а-64}\ge 5 \\ \frac{\left({а}^2-320\right)-5\times \left(а-64\right)}{а-64}\ge 0 \\ \frac{{а}^2-320-5а +320}{а-64}\ge 0 \\ \frac{{а}^2-5а}{а-64}\ge 0 \\ \frac{а(а-5)}{а-64}\ge 0 \\ а\in [0;5]\cup (64;+\infty ) \end{gathered}$$

Сразу найдем чему принадлежит, совершив обратную замену и подставив значения, где $2^{-х} \le 5 и 2^{-х} >64$ (что видно, если начертить координатную прямую)$\Rightarrow х\in (-\infty ;-6)\cup [-{\log }_2\left(5\right);+\infty )$

 

Рассмотрим второе неравенство:

$$\begin{gathered} {\log }_{0,25{х}^2}\left(\frac{х+6}{4}\right)\le 1 \\ {\log }_{0,25{х}^2}\left(\frac{х+6}{4}\right)\le {\log }_{0,25{х}^2}0,25{х}^2 \end{gathered}$$

Случай 1

Если $0,25{х}^2 > 1$, то $\frac{х+6}{4}\le 0,25{х}^2$

Теперь нам следует решить неравенство относительно условия $0,25{х}^2 > 1$.

Сначала найдем корни условия:

$$\begin{gathered} 0,25{х}^2 > 1 \\ {х}^2>4 \\ (х+2)(х-2)>0 \\ х\in (-\infty ;-2)\cup (2;+\infty ) \end{gathered}$$

Далее решим неравенство:

$$\begin{gathered} \frac{х+6}{4}\le 0,25{х}^2 \\ {х}^2-х-6\ge 0 \\ (х-3)(х+2)\ge 0 \\ х\in (-\infty ;-2]\cup [3;+\infty ) \end{gathered}$$

Следовательно решением 1-го случая является: $х\in (-\infty ;-2)\cup [3;+\infty )$

Случай 2

Если $0,25{х}^2 < 1$, то $\frac{х+6}{4}\ge 0,25{х}^2$

Теперь нам следует решить неравенство относительно условия $0,25{х}^2 < 1$.

Сначала найдем корни условия:

$$\begin{gathered} 0,25{х}^2 < 1 \\ {х}^2<4 \\ (х+2)(х-2)<0 \\ х\in (-2;2) \end{gathered}$$

Далее решим неравенство:

$$\begin{gathered} \frac{х+6}{4}\ge 0,25{х}^2 \\ {х}^2-х-6\le 0 \\ (х-3)(х+2)\le 0 \\ х\in [-2;3] \end{gathered}$$

Следовательно решением 2-го случая является: $х\in (-2;2)$

Общим решением второго неравенства,с учетом ОДЗ, является: $х\in (-6;-2)\cup (-2;0)\cup (0;2)\cup [3;+\infty )$

 

Теперь остается записать ответ, объединив все решения и ОДЗ, что даст нам в итоге: $х\in [-{\log }_2\left(5\right);-2)\cup (-2;0)\cup (0;2)\cup [3;+\infty )$