Задание №51732 ЕГЭ Профильной математике

Правая часть неравенства определена при $x<-\frac{1}{24}$ и $x>0.$ При этих условиях выражение $\frac{1}{72x^2}+1$ принимает только положительные значения, а потому неравенство можно записать в виде

$$\begin{gathered} \left(3x+1\right)\left(\frac{1}{72x^2}+1\right)\ge \left(\frac{1}{24x}+1\right)\iff \frac{\left(3x+1\right)\left(1+72x^2\right)}{72x^2}-\frac{1+24x}{24x}\ge 0\iff \\ \iff \frac{\left(3x+1\right)\left(1+72x^2\right)-3x\left(1+24x\right)}{72x^2}\ge 0\iff \frac{3x+1+216x^3+72x^2-3x-72x^2}{72x^2}\ge 0\iff \\ \iff \frac{216x^3+1}{72x^2}\ge 0\iff \frac{x^3+{\displaystyle \frac{1}{216}}}{x^2}\ge 0 \end{gathered}$$
так как по ограничениям $x^2>0,$ то
$$\begin{gathered} x^3+\frac{1}{216}\ge 0 \\ x\ge -\frac{1}{6}. \end{gathered}$$
 Учитывая условия $x<-\frac{1}{24}$ и $x>0,$ получаем: $-\frac{1}{6}\le x<-\frac{1}{24}$ или $\left(0;+\infty \right).$

Ответ: $\left[-\frac{1}{6};-\frac{1}{24}\right)\cup \left(0;+\infty \right).$