Задание №76798 ЕГЭ Профильной математике

Пусть $\mathit{C}\mathit{A}=\mathit{R}$ - радиус основания конуса, сечение конуса плоскостью, параллельной плоскости основания конуса - круг, радиус которого $\mathit{O}\mathit{D}=\mathit{r}$.

$\mathit{O}\mathit{D}\Vert \mathit{A}\mathit{C}$, следовательно, $△\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\sim △\mathit{D}\mathit{B}\mathit{O}$ по первому признаку подобия ($\angle \mathit{A}\mathit{C}\mathit{B}=\angle \mathit{D}\mathit{O}\mathit{B}=90°,\angle \mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ - общий). По условию $\mathit{B}\mathit{O}=2,\mathit{O}\mathit{C}=4$, значит, $\mathit{B}\mathit{C}=6$, откуда $\frac{\mathit{B}\mathit{O}}{\mathit{B}\mathit{C}}=\frac{\mathit{O}\mathit{D}}{\mathit{A}\mathit{C}}=\frac{1}{3},\frac{\mathit{\pi }{\mathit{r}}^2}{\mathit{\pi }{\mathit{R}}^2}=\frac{1}{9}$. Значит, площадь сечения конуса плоскостью, параллельной плоскости основания конуса, в $9$ раз меньше плоскости основания конуса, то есть равна $27:9=3$.

Ответ: 3