Задание №77214 ЕГЭ Физике

Так как рычаг после увеличения длины плеча ${\mathrm{d}}_1$ в 3 раза остается в равновесии, то моменты сил, действующих на него справа и слева во втором случае, должны быть равны: ${\mathrm{M}}_1={\mathrm{M}}_2.$
В то же время моменты сил ${\mathrm{M}}_1$ и ${\mathrm{M}}_2$ по определению равны произведению силы
на ее плечо:

${\mathrm{M}}_1={\mathrm{F}}_1·3{\mathrm{d}}_1$

${\mathrm{M}}_2={\mathrm{F}}_2·{\mathrm{d}}_2.$

Отсюда получаем: ${\mathrm{F}}_1·3{\mathrm{d}}_1={\mathrm{F}}_2·{\mathrm{d}}_2.$
На оба груза действует единственная сила – сила тяжести, поэтому:

${\mathrm{F}}_1={\mathrm{m}}_1\mathrm{g}$

${\mathrm{F}}_2={\mathrm{m}}_2\text{'}\mathrm{g},$

где ${\mathrm{m}}_2\text{'}$ – масса груза, подвешенного справа, во втором случае.
С учетом этого: ${\mathrm{M}}_1={\mathrm{m}}_1\mathrm{g}·3{\mathrm{d}}_1$ и ${\mathrm{M}}_2={\mathrm{m}}_2\mathrm{g}·3{\mathrm{d}}_2.$ 
Приравняв ${\mathrm{М}}_1$ и ${\mathrm{М}}_2$ получаем, что:

${\mathrm{m}}_1\mathrm{g}·3{\mathrm{d}}_1={\mathrm{m}}_2\text{'}\mathrm{g}·{\mathrm{d}}_2$

$3{\mathrm{m}}_1{\mathrm{d}}_1={\mathrm{m}}_2\text{'}{\mathrm{d}}_2.$

Выразим массу второго груза ${\mathrm{m}}_2\text{'}:$

${\mathrm{m}}_2\text{'}=\frac{3{\mathrm{m}}_1{\mathrm{d}}_1}{{\mathrm{d}}_2}.$

Заметим, что $\frac{{\mathrm{m}}_1{\mathrm{d}}_1}{{\mathrm{d}}_2}={\mathrm{m}}_2$ (это следует из условия равновесия рычага для
первого случая).

${\mathrm{m}}_2\text{'}=3{\mathrm{m}}_2.$

То есть, чтобы рычаг после увеличения длины плеча ${\mathrm{d}}_1$ в 3 раза сохранил равновесие, масса второго груза должна так же увеличиться в 3 раза. Тогда его масса должна измениться на:

$∆\mathrm{m}={\mathrm{m}}_2\text{'}-{\mathrm{m}}_2=3{\mathrm{m}}_2-{\mathrm{m}}_2=2{\mathrm{m}}_2$

$∆\mathrm{m}=2·0,5 \mathrm{кг}=1 \mathrm{кг}.$