Задание №77317 ЕГЭ Профильной математике

Данное уравнение преобразуется в $\tan \left(\frac{1}{6}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Заметим, что $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}. \text{Сделаем замену} \frac{1}{6}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{\pi }}{3}=\mathrm{y}.$ Тогда уравнение примет вид простейшего уравнения:  $\tan \left(\mathrm{y}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow y=\frac{\mathrm{\pi }}{6}+\mathrm{\pi n}, \mathrm{n}\in \mathrm{Z}.$

Сделаем обратную замену:

Заметим:

при $\mathrm{n}=0 \text{получается корень} \mathrm{x}=-\mathrm{\pi },$который отрицательный, то есть не подходит нам;

при $\mathrm{n}=1 \text{мы получаем положительный корень} \mathrm{x}=5\mathrm{\pi }.$

при $\mathrm{n}\ge 2 \text{корни будут больше} 5\mathrm{\pi }, \text{а при} \mathrm{n}\le -1 - \text{меньше} -\mathrm{\pi }.$

Следовательно, $5\mathrm{\pi }$ – наименьший положительный корень.

Следовательно, в ответ нужно записать $5\mathrm{\pi }:\mathrm{\pi }=5.$