Задание №78468 ЕГЭ Профильной математике

Решим уравнение:

${\log }_3(2\mathrm{x}+1)={\log }_3(3-\mathrm{x})+1$

ОДЗ:

$2\mathrm{x}+1>0\text{и}3-\mathrm{x}>0$

Решим каждое неравенство:

$2\mathrm{x}+1>0⟹\mathrm{x}>-\frac{1}{2}$

$3-\mathrm{x}>0⟹\mathrm{x}<3$

Таким образом, область допустимых значений:

$-\frac{1}{2}<\mathrm{x}<3$

Решение уравнения:

Преобразуем правую часть:

${\log }_3(2\mathrm{x}+1)={\log }_3\left(\right(3-\mathrm{x})\cdot 3)$

Тогда уравнение эквивалентно:

${\log }_3(2\mathrm{x}+1)={\log }_3(9-3\mathrm{x})$

Сравним аргументы логарифмов:

$2\mathrm{x}+1=9-3\mathrm{x}$

Приведем подобные слагаемые:

$2\mathrm{x}+3\mathrm{x}=9-1$

$5\mathrm{x}=8$

$\mathrm{x}=\frac{8}{5}.$

Проверка ОДЗ:
Проверим, что $\mathrm{x}=\frac{8}{5}=1,6$ попадает в область допустимых значений:

$-\frac{1}{2}<\frac{8}{5}<3.$