Задание №78471 ЕГЭ Профильной математике

Решим уравнение:

${\log }_5(15\mathrm{x}+25)={\log }_5(\mathrm{x}-25)+2$

ОДЗ:

$15\mathrm{x}+25>0\text{и}\mathrm{x}-25>0$

Решим каждое неравенство:

$15\mathrm{x}+25>0⟹15\mathrm{x}>-25⟹\mathrm{x}>-\frac{25}{15}=-\frac{5}{3}$

$\mathrm{x}-25>0⟹\mathrm{x}>25$

Таким образом, область допустимых значений:

$\mathrm{x}>25$

Решение уравнения:
Преобразуем правую часть:

${\log }_5(15\mathrm{x}+25)={\log }_5\left(25\right(\mathrm{x}-25\left)\right)$

Тогда уравнение эквивалентно:

${\log }_5(15\mathrm{x}+25)={\log }_5(25\mathrm{x}-625)$

Сравним аргументы логарифмов:

$15\mathrm{x}+25=25\mathrm{x}-625$

Приведем подобные слагаемые:

$25+625=25\mathrm{x}-15\mathrm{x}$

$650=10\mathrm{x}$

$\mathrm{x}=65$

Проверка ОДЗ:

Проверим, что $\mathrm{x}=65$ попадает в область допустимых значений:

$65>25$

Следовательно, условия выполняются.