Задание №82563 ЕГЭ Профильной математике

Пусть грань $\mathrm{ABCD}$ является квадратом. Диагональ ${\mathrm{B}}_1\mathrm{D}$ образует с этой гранью угол $45^\circ$, то есть ${\text{∠BDB}}_1={45}^{\circ }$. Тогда прямоугольный треугольник ${\mathrm{BDB}}_1$ равнобедренный, и ${\mathrm{BB}}_1=\mathrm{BD}=\frac{{\mathrm{B}}_1\mathrm{D}}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2$

Стороны квадрата $\mathrm{ABCD}$ равны: $\mathrm{BA}=\mathrm{BC}=\frac{\mathrm{BD}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений:

$\mathrm{V}=\mathrm{BA}\cdot \mathrm{BC}\cdot {\mathrm{BB}}_1=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\cdot 2=4$