Задание №82564 ЕГЭ Профильной математике

Пусть $\mathrm{\angle }{\mathrm{B}}_1\mathrm{DB}={45}^{\circ }$, $\mathrm{\angle }{\mathrm{B}}_1{\mathrm{DA}}_1={30}^{\circ }$, $\mathrm{\angle }{\mathrm{B}}_1{\mathrm{DC}}_1={30}^{\circ }$. Тогда из прямоугольного треугольника ${\mathrm{B}}_1\mathrm{DB}$:

$$\begin{gathered} \sin {45}^{\circ }=\frac{{\mathrm{BB}}_1}{{\mathrm{B}}_1\mathrm{D}} \\ \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{{\mathrm{BB}}_1}{8\sqrt{2}} \\ {\mathrm{BB}}_1=2 \end{gathered}$$

Из треугольника ${\mathrm{B}}_1{\mathrm{DA}}_1$:

$$\begin{gathered} \sin {30}^{\circ }=\frac{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1}{{\mathrm{B}}_1\mathrm{D}} \\ \frac{1}{2}=\frac{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1}{8\sqrt{2}} \\ {\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1=\sqrt{2} \end{gathered}$$

Из треугольника ${\mathrm{B}}_1{\mathrm{DC}}_1$:

$$\begin{gathered} \sin {30}^{\circ }=\frac{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1}{{\mathrm{B}}_1\mathrm{D}} \\ \frac{1}{2}=\frac{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1}{8\sqrt{2}} \\ {\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1=\sqrt{2} \end{gathered}$$

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений:

$\mathrm{V}={\mathrm{B}}_1{\mathrm{A}}_1\cdot {\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1\cdot {\mathrm{BB}}_1=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\cdot 2=4$