Задание №82570 ЕГЭ Профильной математике

Пусть объём исходного параллелепипеда ${\text{ABCDA}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{1}}{\text{C}}_{\text{1}}{\text{D}}_{\text{1}}$ равен  $\text{V=S⋅h}$,  где S – площадь основания $\text{ABCD}$, а h – высота параллелепипеда. Искомый объём равен разности объёмом параллелепипеда ${\text{ABCDA}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{1}}{\text{C}}_{\text{1}}{\text{D}}_{\text{1}}$ и четырёх пирамид ${\text{ABCB}}_{\text{1}}{\text{, D}}_{\text{1}}{\text{C}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{1}}{\text{C, A}}_{\text{1}}{\text{D}}_{\text{1}}{\text{B}}_{\text{1}}{\text{A и ADCD}}_{\text{1}}\text{.}$ Объём каждой из этих пирамид равен одной трети произведения площади основания на высоту, а площадь основания вдвое меньше площади основания параллелепипеда. Следовательно:  ${\text{V}}_{{\text{ABCB}}_{\text{1}}}\text{=}\frac{\text{1}}{3}\text{⋅}\frac{\text{S}}{2}\text{⋅h=}\frac{\text{1}}{6}\text{⋅4,5=}\frac{\text{3}}{4}$. Тогда:

${\mathrm{V}}_{{\mathrm{AD}}_1{\mathrm{CB}}_1}={\mathrm{V}}_{{\mathrm{ABCDA}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1}—4\cdot {\mathrm{V}}_{{\mathrm{ABCB}}_1}=4,5—4\cdot \frac{3}{4}=1,5.$