Задание №82587 ЕГЭ Профильной математике

​

Так как сечение пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам, искомое сечение представляет собой четырёхугольник ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{D}}_1\mathrm{PK}$, где ${\mathrm{A}}_1\mathrm{K}\parallel {\mathrm{D}}_1\mathrm{P}$ и ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{D}}_1\parallel \mathrm{KP}$. Поскольку ребро ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{D}}_1$ перпендикулярно граням ${\mathrm{AA}}_1{\mathrm{B}}_1\mathrm{B}$ и ${\mathrm{DD}}_1{\mathrm{C}}_1\mathrm{C}$, углы $\mathrm{\angle }{\mathrm{D}}_1{\mathrm{A}}_1\mathrm{K}$ и $\mathrm{\angle }{\mathrm{A}}_1{\mathrm{D}}_1\mathrm{P}$ равны ${90}^{\circ }$. Следовательно, сечение ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{D}}_1\mathrm{PK}$ является прямоугольником.

Длины сторон:

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1\mathrm{K}$:

Тогда площадь сечения: