Задание №82812 ЕГЭ Профильной математике

Объём призмы равен $\mathrm{V}=\mathrm{S}\cdot \mathrm{h}$, где $\mathrm{S}$ – площадь основания, а $\mathrm{h}$ – высота. Пусть ${\mathrm{A}}_1\mathrm{H}$ – высота призмы. Тогда $\angle {\mathrm{A}}_1\mathrm{AH}=30°$. По условию ${\mathrm{AA}}_1=2\sqrt{3}$. По определению синуса из треугольника ${\mathrm{AA}}_1\mathrm{H}$:

$$\begin{gathered} \sin \angle {\mathrm{A}}_1\mathrm{AH}=\frac{{\mathrm{A}}_1\mathrm{H}}{{\mathrm{AA}}_1} \\ \sin 30\circ =\frac{{\mathrm{A}}_1\mathrm{H}}{2\sqrt{3}} \\ {\mathrm{A}}_1\mathrm{H}=\sqrt{3} \end{gathered}$$

Диагонали шестиугольника $\text{AD, BE и CF}$ разбивают его на 6 равных равносторонних треугольников со стороной равной 2.

${\mathrm{S}}_{\mathrm{AOB}}=12\cdot \mathrm{AO}\cdot \mathrm{AB}\cdot \sin 60°=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

Тогда площадь основания: $\mathrm{S}=6\cdot {\mathrm{S}}_{\mathrm{AOB}}=6·\sqrt{3}$. 

Значит:  $\mathrm{V}=6\sqrt{3}·\sqrt{3}=18.$