Задание №82875 ЕГЭ Профильной математике

Так как сечение пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам, то искомое сечение четырёхугольник ${\mathrm{ACC}}_1{\mathrm{A}}_1$, где $\mathrm{AC}\parallel {\mathrm{A}}_1{\mathrm{C}}_1$ и ${\mathrm{AA}}_1\parallel {\mathrm{CC}}_1$. Кроме того ребро ${\mathrm{AA}}_1$ перпендикулярно граням $\mathrm{ABCD}$ и ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$, поэтому $\angle {\mathrm{CAA}}_1=\angle {\mathrm{AA}}_1{\mathrm{C}}_1=90°$. Следовательно, сечение ${\mathrm{ACC}}_1{\mathrm{A}}_1$ – прямоугольник. Так как призма является правильной, то ${\mathrm{A}}_1\mathrm{C} = {\mathrm{BD}}_1 = 17$. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ${\mathrm{AA}}_1\mathrm{C}$:

$$\begin{gathered} {\mathrm{A}}_1{\mathrm{C}}^2={\mathrm{AC}}^2+{{\mathrm{AA}}_1}^2 \\ \mathrm{AC}=\sqrt{{17}^2-{15}^2}=8 \end{gathered}$$

Тогда: ${\mathrm{S}}_{{\mathrm{ACC}}_1{\mathrm{A}}_1}=\mathrm{AC}\cdot {\mathrm{AA}}_1=8\cdot 15=120.$