Задание №82908 ЕГЭ Профильной математике

Боковая грань ASD перпендикулярна основанию $\mathrm{ABC}$, высота $\mathrm{SH}$ равна 6. Боковые грани $\mathrm{SBC}, \mathrm{SAB}$ и $\mathrm{SDC}$ наклонены к основанию под углом $60°$, то есть $\angle \mathrm{SGH}=\angle \mathrm{SAH}=\angle \mathrm{SDH}=60°$.

Используем определение тангенса:

$$\begin{gathered} \mathrm{tg}\mathrm{\angle }\mathrm{SGH}=\frac{\mathrm{SH}}{\mathrm{HG}} \\ \mathrm{tg}60\mathrm{°}=\frac{6}{\mathrm{HG}} \\ \mathrm{HG}=2\sqrt{3} \end{gathered}$$

Отсюда $\mathrm{AB}=2\sqrt{3}$

Аналогично:

$$\begin{gathered} \mathrm{tg}\mathrm{\angle }\mathrm{SAH}=\frac{\mathrm{SH}}{\mathrm{AH}} \\ \mathrm{tg}60\mathrm{°}=\frac{6}{\mathrm{AH}} \\ \mathrm{AH}=2\sqrt{3} \end{gathered}$$

Таким же образом $\mathrm{DH}=2\sqrt{3}$, следовательно, $\mathrm{AD}=4\sqrt{3}$

Площадь основания:

${\mathrm{S}}_{\mathrm{ABCD}}=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AD}=2\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}=24$

Теперь найдём объём пирамиды:

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}\cdot {\mathrm{S}}_{\mathrm{ABCD}}\cdot \mathrm{SH}=\frac{1}{3}\cdot 24\cdot 6=48$