Задание №83093 ЕГЭ Профильной математике

Пусть $\mathrm{PK}$ — высота боковой грани $BPC$. Тогда $\mathrm{K}$ — середина $\mathrm{BC}$, и $\mathrm{HK}$ является средней линией в треугольнике $\mathrm{ABC}$, поэтому $\mathrm{HK}=\frac{\mathrm{AB}}{2}=\frac{6}{2}=3$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\mathrm{PHK}$:

$$\begin{gathered} {\mathrm{PK}}^2={\mathrm{PH}}^2+{\mathrm{KH}}^2 \\ \mathrm{PK}=\sqrt{4^2+3^2}=5 \end{gathered}$$

 $$\begin{gathered} {\mathrm{S}}_{\mathrm{BPC}}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{BC}\cdot \mathrm{PK}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 5=15; \\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{ABCD}}=6^2=36. \end{gathered}$$

Тогда площадь поверхности пирамиды:

$\mathrm{S}={\mathrm{S}}_{\mathrm{ABCD}}+4\cdot {\mathrm{S}}_{\mathrm{BPC}}=36+4\cdot 15=96$