Задание №83100 ЕГЭ Профильной математике

Объём пирамиды:

$$\begin{gathered} \mathrm{V}=\frac{1}{3}\cdot {\mathrm{S}}_{\mathrm{ABCD}}\cdot \mathrm{PH} \\ 200=\frac{1}{3}\cdot {\mathrm{S}}_{\mathrm{ABCD}}\cdot 12 \\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{ABCD}}=50. \end{gathered}$$

Так как пирамида является правильной, основание $\mathrm{ABCD}$ — квадрат. Тогда:

$\mathrm{AB}=\sqrt{50},\text{а диагональ квадрата}\mathrm{AC}=\mathrm{AB}\sqrt{2}=\sqrt{50}\cdot \sqrt{2}=10.$

Следовательно:

$\mathrm{HC}=\frac{\mathrm{AC}}{2}=\frac{10}{2}=5$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\mathrm{PHC}$:

$$\begin{gathered} {\mathrm{PC}}^2={\mathrm{PH}}^2+{\mathrm{HC}}^2 \\ \mathrm{PC}=\sqrt{{12}^2+5^2}=13. \end{gathered}$$