Задание №83101 ЕГЭ Профильной математике

Пусть $\mathrm{SO}$ — высота пирамиды. Диагонали шестиугольника $\mathrm{AD}$, $\mathrm{BE}$ и $\mathrm{CF}$ делят его на 6 равных равносторонних треугольников. Тогда $\mathrm{FO}=2$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\mathrm{FSO}$:

$$\begin{gathered} {\mathrm{FS}}^2={\mathrm{FO}}^2+{\mathrm{SO}}^2 \\ \mathrm{SO}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3} \end{gathered}$$

Площадь одного треугольника $\mathrm{AFO}$:

${\mathrm{S}}_{\mathrm{AFO}}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{FO}\cdot \mathrm{FA}\cdot \sin {60}^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

Площадь основания шестиугольника $\mathrm{ABCDEF}$:

${\mathrm{S}}_{\mathrm{ABCDEF}}=6\cdot {\mathrm{S}}_{\mathrm{AFO}}=6\sqrt{3}$

Найдём объём пирамиды:

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}\cdot {\mathrm{S}}_{\mathrm{ABCDEF}}\cdot \mathrm{SO}=\frac{1}{3}\cdot 6\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=12.$