Задание №83103 ЕГЭ Профильной математике

Пусть $\mathrm{SO}$ — высота пирамиды, $\mathrm{SH}$ — высота боковой грани $\mathrm{CSD}$, $\mathrm{\angle }\mathrm{SHO}={45}^{\circ }$ — угол между боковой гранью и основанием. Тогда прямоугольный треугольник $\mathrm{SHO}$ является равнобедренным, и $\mathrm{SO}=\mathrm{OH}$. Диагонали шестиугольника $AD$, $\mathrm{BE}$ и $\mathrm{CF}$ делят его на 6 равных равносторонних треугольников. Следовательно, треугольник $\mathrm{COD}$авносторонний, и $\mathrm{OH}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \mathrm{CD}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 4=2\sqrt{3}$

Площадь треугольника $\mathrm{COD}$:

${\mathrm{S}}_{\mathrm{COD}}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{CD}\cdot \mathrm{OH}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2\sqrt{3}=4\sqrt{3};$

Площадь основания шестиугольника $\mathrm{ABCDEF}$:

${\text{S}}_{\mathrm{ABCDEF}}=6\cdot {\mathrm{S}}_{\mathrm{COD}}=6\cdot 4\sqrt{3}=24\sqrt{3}$

Найдём объём пирамиды:

$\text{V=}\frac{1}{3}\cdot {\mathrm{S}}_{\mathrm{ABCDEF}}\cdot \mathrm{SO}=\frac{1}{3}\cdot 24\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=48$