Задание №83165 ЕГЭ Профильной математике

Пусть $\mathrm{SH}$ — высота пирамиды. Так как пирамида правильная, её основанием является квадрат, диагональ которого:

$\mathrm{AC}=\sqrt{2}\cdot \mathrm{AB}=\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}=6$

Тогда:

$\mathrm{AH}=\frac{\mathrm{AC}}{2}=\frac{6}{2}=3$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\mathrm{ASH}$:

$$\begin{gathered} {\mathrm{AS}}^2={\mathrm{AH}}^2+{\mathrm{SH}}^2 \\ \mathrm{SH}=\sqrt{5^2-3^2}=4 \end{gathered}$$

Площадь основания:

${\mathrm{S}}_{\mathrm{ABCD}}={\mathrm{AB}}^2=(3\sqrt{2}{)}^2=18$

Теперь объём пирамиды:

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}\cdot {\mathrm{S}}_{\mathrm{ABCD}}\cdot \mathrm{SH}=\frac{1}{3}\cdot 18\cdot 4=24$