Задание №83167 ЕГЭ Профильной математике

Пусть $\mathrm{P}$ — точка пересечения медиан равностороннего треугольника $\mathrm{ABC}$. Тогда $\mathrm{SP}$ является высотой пирамиды, а $\mathrm{AP}$ — радиусом окружности, описанной около треугольника $\mathrm{ABC}$. Найдём $\mathrm{AP}$ по теореме синусов для треугольника $\mathrm{ABC}$:

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{BC}}{\sin {60}^{\circ }}=2\cdot \mathrm{AP} \\ \frac{2\cdot 3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2\cdot \mathrm{AP} \\ \mathrm{AP}=3 \end{gathered}$$

Теперь по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\mathrm{SAP}$:

$$\begin{gathered} {\mathrm{AS}}^2={\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{SP}}^2 \\ \mathrm{SP}=\sqrt{5^2-3^2}=4 \end{gathered}$$