Задание №83424 ЕГЭ Профильной математике

Объём конуса равен $\mathrm{V}=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi R}}^2\mathrm{h}$, где $\mathrm{R}$ — радиус основания, а $\mathrm{h}$ — высота конуса. Образующая конуса $\mathrm{AS}=2$. Из прямоугольного треугольника $\mathrm{ASO}$ высота $\mathrm{SO}$, лежащая напротив угла $30^\circ$, равна половине $\mathrm{AS}$, то есть 1. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\mathrm{ASO}$:

$$\begin{gathered} {\mathrm{AS}}^2={\mathrm{SO}}^2+{\mathrm{AO}}^2 \\ \mathrm{AO}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}=\mathrm{R} \end{gathered}$$

Тогда объём конуса равен:

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi R}}^2\mathrm{h}=\frac{1}{3}\mathrm{\pi }\cdot (\sqrt{3}{)}^2\cdot 1=\mathrm{\pi }$

Следовательно:

$\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{\pi }}=\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{\pi }}=1$