Задание №83621 ЕГЭ Профильной математике

Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей всех её боковых граней. Поскольку данная призма — правильная треугольная, все три боковые грани являются прямоугольниками с одинаковой площадью. Чтобы найти площадь боковой грани, необходимо знать её высоту и длину ребра основания. Высота призмы равна высоте вписанного в неё цилиндра, то есть $2$.

Теперь найдём длину ребра основания. Рассмотрим вид сверху. Пусть — центр окружности, вписанной в равносторонний треугольник . Тогда $\mathrm{OH}=\sqrt{3}$ — радиус окружности, а угол $\mathrm{\angle }\mathrm{OAH}={30}^{\circ }$. Из прямоугольного треугольника $OAH$, по определению тангенса:

$$\begin{gathered} tg30^{\circ }=\frac{OH}{AH} \\ \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{AH} \\ AH=3 \end{gathered}$$

Следовательно, сторона треугольника $\text{AC=2⋅AH=2⋅3=6}$, и площадь боковой поверхности будет равна: $\mathrm{S}=3\cdot 6\cdot 2=36$