Задание №83622 ЕГЭ Профильной математике

Площадь боковой поверхности  призмы равна сумме площадей всех боковых граней. Так как дана правильная шестиугольная призма, то все шесть граней являются прямоугольниками, площади которых равны. Для нахождения площади боковой грани необходимо знать её высоту и длину ребра основания. Высота призмы равна высоте вписанного в него цилиндра.  Найдём длину ребра основания. Рассмотрим проекцию (вид сверху).  Пусть $\mathrm{O}$ – центр окружности вписанной в правильный шестиугольник $\mathrm{ABCDEF}$. Диагонали шестиугольника $\mathrm{AD}, \mathrm{BE}$ и $\mathrm{CF}$ разбивают его на 6 равносторонних треугольников. Тогда $\mathrm{OH}=\sqrt{3}$ – радиус окружности и $\angle \mathrm{OAH}=60°$. По определению тангенса из прямоугольного треугольника OAH:

$$\begin{gathered} \mathrm{tg}60\circ =\frac{\mathrm{OH}}{\mathrm{AH}} \\ \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{\mathrm{AH}} \\ \mathrm{AH}=1 \end{gathered}$$

Тогда сторона шестиугольника $\mathrm{AB}=2\cdot \mathrm{AH}=2\cdot 1=2$и площадь боковой поверхности будет равна: $\mathrm{S}=6\cdot 2\cdot 2=24$.