Задание №83648 ЕГЭ Профильной математике

Объём конуса вычисляется по формуле:

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi R}}^2\mathrm{h}$

где $\mathrm{R}$ — радиус основания, а $\mathrm{h}$ — высота конуса. Поскольку высоты обоих конусов равны, их объёмы будут зависеть только от радиусов оснований.

Радиус основания вписанного конуса равен половине стороны квадрата $\mathrm{ABCD}$:

$\mathrm{r}=\frac{\mathrm{AB}}{2}=\frac{4}{2}=2$

Радиус основания описанного конуса равен половине диагонали квадрата $\mathrm{ABCD}$:

$\mathrm{R}=\frac{\mathrm{AC}}{2}=\frac{\sqrt{2}\cdot \mathrm{AB}}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$

Таким образом, отношение объёмов конусов равно:

$\frac{{\mathrm{V}}_{\text{опис}}}{{\mathrm{V}}_{\text{впис}}}=\frac{\frac{1}{3}{\mathrm{\pi R}}^2\mathrm{h}}{\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}}={\left(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{r}}\right)}^2={\left(\frac{2\sqrt{2}}{2}\right)}^2=2$