Задание №83696 ЕГЭ Профильной математике

Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей всех её боковых граней. Поскольку дана правильная треугольная призма, все три боковые грани представляют собой прямоугольники одинаковой площади. Для нахождения площади боковой грани нужно знать её высоту и длину ребра основания. Высота призмы равна высоте вписанного в неё цилиндра, то есть 2.

Теперь найдём длину ребра основания. Рассмотрим проекцию (вид сверху). Пусть $\mathrm{O}$ — центр окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника $\mathrm{ABC}$, и $\mathrm{R}=\mathrm{OB}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Найдём сторону треугольника, используя теорему синусов:

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{AB}}{\sin {60}^{\circ }}=2\mathrm{R} \\ \mathrm{AB}=2\cdot \frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6 \end{gathered}$$

Таким образом, площадь боковой поверхности призмы будет равна:

$\mathrm{S}=3\cdot 2\cdot 6=36$