Задание №96436. Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с

Задание №96436 ЕГЭ Профильной математике

Условие задания #96436

№1921 по КИМ

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 82?

б)  Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?

в)  Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Ответ

Ответ:

Решение

Пусть данное число равно $\overlineabc=100a плюс 10b плюс c,$ где $a, b$ и c  — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Если частное этого числа и суммы его цифр равно k, то выполнено $100 a плюс 10b плюс с = kа плюс kb плюс kc.$

а)  Если $k=82,$ то $100a плюс 10b плюс с = 82a плюс 82b плюс 82c равносильно 18a = 72b плюс 81c,$ что верно, например, при $с = 0,~ a=4, ~b=1.$ Частное числа 410 и суммы его цифр равно $82.$

б)  Если $k=83,$ то $100a плюс 10b плюс c=83a плюс 83b плюс 83c равносильно 17a= 73b плюс 82c.$ Если $a=9,b=1,c=1$ то $17a=153 меньше 73b плюс 82c=155.$ Значит, $a меньше 9$ и $b = 0, с = 1$ или $b=1, с = 0.$ Но ни $73,$ ни $82$ не делится на $17.$ Значит, частное трехзначного числа и суммы его цифр не может быть равным $83.$

в)  Пусть k  — наибольшее натуральное значение частного числа, не кратного $100$ и суммы его цифр. Тогда $100a плюс 10b плюс c = ka плюс kb плюс kc равносильно левая круглая скобка 100 минус k правая круглая скобка a = левая круглая скобка k минус 10 правая круглая скобка b плюс левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка c.$ Учитывая, что $b плюс c больше 0,$ получаем:

$9 левая круглая скобка 100 минус k правая круглая скобка \geqslant левая круглая скобка 100 минус k правая круглая скобка a = левая круглая скобка k минус 10 правая круглая скобка b плюс левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка c больше или равно левая круглая скобка k минус 10 правая круглая скобка левая круглая скобка b плюс c правая круглая скобка больше или равно k минус 10.$

Таким образом, $9 левая круглая скобка 100 минус k правая круглая скобка больше или равно k минус 10 равносильно 10k меньше или равно 910 равносильно k\leqslant91.$

Частное числа $910$ и суммы его цифр равно $91.$ Значит, наибольшее натуральное значение частного трёхзначного числа, не кратного $100,$ и суммы его цифр равно $91.$

Приведем другую оценку п. в).

Запишем оцениваемое отношение и преобразуем его:

$k= дробь: числитель: \overlineabc, знаменатель: a плюс b плюс c конец дроби = дробь: числитель: 100a плюс 10b плюс c, знаменатель: a плюс b плюс c конец дроби =1 плюс дробь: числитель: 9 левая круглая скобка 11a плюс b правая круглая скобка , знаменатель: a плюс b плюс c конец дроби \leqslant1 плюс дробь: числитель: 9 левая круглая скобка 11a плюс b правая круглая скобка , знаменатель: a плюс b конец дроби =$ $=10 плюс дробь: числитель: 90a, знаменатель: a плюс b конец дроби \leqslant10 плюс дробь: числитель: 90a, знаменатель: a плюс 1 конец дроби =100 минус дробь: числитель: 90, знаменатель: a плюс 1 конец дроби меньше или равно 91.$

Ответ: а) да; б) нет; в) 91.

Понятно ли решение?

Авторизуйся, чтобы посмотреть решение

Активируй TG-бот через QR-код или по кнопке
Введи код авторизации из TG-бота

Активировать TG-бот