Задание №96437 ЕГЭ Профильной математике

а) Может ли частное быть равным 9?

Да, может.

Пример: число $135$
Произведение цифр: $1\cdot 3\cdot 5=15$
Частное: $135:15=9$

Таким образом, частное может быть равным 9.

б) Может ли частное быть равным 1?

Пусть трёхзначное число записывается как $100a+10b+c$, где $a,b,c$— цифры, $a\in [1,9]$, $b,c\in [1,9]$ (нулей нет).
Произведение цифр: $abc$
Условие частного, равного 1:

$$\frac{100a+10b+c}{abc}=1\iff 100a+10b+c=abc\mathrm{.}$$

Перенесём все слагаемые в одну сторону:

$$100a+10b+c-abc=0.$$

Сгруппируем относительно $a$:

$$a(100-bc)+10b+c=0.$$

Так как $b\ge 1$, $c\ge 1$, то $bc\ge 1$, и максимальное $bc=81$.
Тогда $100-bc\ge 100-81=19>0$
Кроме того, $10b+c>0$. Следовательно,

$$a(100-bc)+10b+c>0.$$

Значит, равенство нулю невозможно.

Вывод: частное не может быть равным 1.

в) Наименьшее значение частного

Запишем частное в виде функции от $a,b,c$:

$$Q(a,b,c)=\frac{100a+10b+c}{abc}\mathrm{.}$$

Разделим почленно числитель на произведение:

$$Q=\frac{100}{bc}+\frac{10}{ac}+\frac{1}{ab}\mathrm{.}$$

При фиксированных $b,c$функция $Q$ тем меньше, чем больше $a$ (так как $a$ стоит в знаменателе у двух последних слагаемых).
При фиксированных $a,c$ функция $Q$ тем меньше, чем больше $b$ (так как $b$ стоит в знаменателе у первого и третьего слагаемых).
При фиксированных $a,b$ функция $Q$ тем меньше, чем больше $c$ (так как $c$ стоит в знаменателе у первого и второго слагаемых).

Следовательно, $Q$ убывает по каждому из аргументов $a,b,c$.
Значит, наименьшее значение достигается при наибольших возможных цифрах:

$$a=9,b=9,c=9.$$

Вычислим:

$Q_{min}=\frac{100\cdot 9+10\cdot 9+9}{9\cdot 9\cdot 9}=\frac{900+90+9}{729}=\frac{999}{729}\mathrm{.}$

Сократим дробь. Заметим, что $999=27\cdot 37$, $729=27\cdot 27$:

$$\frac{999}{729}=\frac{27\cdot 37}{27\cdot 27}=\frac{37}{27}\mathrm{.}$$

Таким образом, наименьшее возможное значение частного равно $\frac{37}{27}$

Ответ:  а) да (например, 135) б) нет в) $\frac{37}{27}$​