Задание №96438 ЕГЭ Профильной математике

a)  Сумма цифр числа 151 равна 7. Таким образом, произведение этого числа и суммы его цифр равно 1057.

б)  Заметим, что сумма цифр числа имеет такой же остаток при делении на 3, как и само число. Следовательно, если число A делится на 3, то делится на 3. Если число A не делится на 3, то даёт остаток 1 при делении на 3. Число 1058 даёт остаток 2 при делении на 3, значит, оно не может быть равно произведению

в)  Заметим, что сумма цифр числа имеет такой же остаток при делении на 9, как и само число. Следовательно, даёт такой же остаток при делении на 9, как и Пусть где Тогда

то есть остаток от деления на 9 совпадает с остатком от деления на 9. Этот остаток может быть равен 0; 1; 4 или 7 , поскольку принимает значения 0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64. Таким образом, остаток от деления произведения на 9 может быть равен 0; 1; 4 или 7.

Будем последовательно рассматривать числа, большие 864, для которых остаток от деления на 9 равен 0 ; 1 ; 4 или 7.

Число 865 даёт остаток 1 при делении на 9. Это число раскладывается в произведение простых множителей следующим образом: а значит, его можно представить в виде произведения трёхзначного числа на какое-то другое число только следующим способом:

В этом случае первый множитель не равен сумме цифр второго множителя. Число 868 даёт остаток 4 при делении на 9. Это число раскладывается в произведение простых множителей следующим образом: а, значит, его можно представить в виде произведения трёхзначного числа на какое-то другое число следующими способами:

Сумма цифр трёхзначного числа равна 7. Следовательно, для этого числа

Таким образом, наименьшее значение произведения большее 864, равно 868.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  868.