Задание №96468 ЕГЭ Профильной математике

а)  Пусть на доске написаны числа 6, 36 и 156. Тогда их сумма равна 198.

б)  Каждое из написанных чисел оканчивается на 6, поэтому если их сумма оканчивается на 0, то их количество должно делиться на 5. Сумма пяти наименьших чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 6, равна 6 + 36 + 66 + 96 + 126  =  330. Значит, получить сумму 270 невозможно.

в)  Пусть на доске написано n чисел. Заметим, что любое число, которое оканчивается на 6, представимо в виде 5k + 1. Значит, сумма чисел, написанных на доске, равна 1518  =  5m + n. Следовательно, n даёт остаток 3 при делении на 5.

Предположим, что Сумма тринадцати наименьших чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 6, равна

Значит, n <  13. следовательно,

Покажем, что могло быть написано восемь чисел. Например, сумма восьми чисел 6, 36, 66, 96, 126, 156, 186, 846 равна 1518.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  8.