Задание №96494. В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные

Задание №96494 ЕГЭ Профильной математике

Условие задания #96494

№1921 по КИМ

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-⁠то юноша отправил какой-⁠то девушке несколько писем.

а)  Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?

б)  Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?

в)  Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?

Ответ

Ответ:

Решение

Пусть a юношей отправили по 4 письма и b юношей отправили по 21 письму. Тогда количество девушек $a плюс b,$ количество отправленных писем $4a плюс 21b.$

а)  Спрашивается, имеет ли уравнение $4a плюс 21b=7 левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка$ решение. Запишем его в виде $3a=14b.$ Ясно, что числа $a=14,$ и $b=3$ являются одним из решений. То есть если 14 юношей отправили по 4 письма и трое юношей отправили по 21 письму, то всего они отправили 119 писем, которые можно распределить между 17 девушками так, чтобы каждая получила ровно 7 писем.

б)  Общее количество писем $4a плюс 21b$ должно делиться на количество девушек $a плюс b$ без остатка. Заметим, что тогда в силу тождества $17b= левая круглая скобка 4a плюс 21b правая круглая скобка минус 4 левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка ,$ число $17b$ также должно делиться на $a плюс b.$ Если $a плюс b$ не делится на 17, то b делится на $a плюс b,$ что противоречит условиям $a больше 1,b больше 1.$ Значит, $a плюс b$ делится на 17. Наименьшее натуральное число, делящееся на 17,  — это 17. Пример того, что девушек может быть ровно 17, приведён в предыдущем пункте.

в)  Пусть a юношей отправили по 4 письма и $n минус a$ юношей отправили по 21 письму. Тогда суммарно они отправили $4a плюс 21 левая круглая скобка n минус a правая круглая скобка$ писем, а число полученных девушками писем не меньше

$0 плюс 1 плюс ... плюс левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: n левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби .$

Получаем

$4a плюс 21 левая круглая скобка n минус a правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: n левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби ,$

откуда $21n больше дробь: числитель: n левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби равносильно n меньше 43.$

При $n=42$ имеем $882 минус 17a больше или равно 861 равносильно 17a меньше или равно 21,$ что противоречит условию $a\geqslant2.$

Если $n=41,a=2,$ то суммарное количество отправленных писем равно $2 умножить на 4 плюс 39 умножить на 21=827.$ Эти письма можно распределить между девушками следующим образом: 40 девушек получили от 0 до 39 писем и ещё одна  — 47. Таким образом, наибольшее возможное количество девушек  — это 41.

Ответ: а)  да; б)  17; в)  41.

Понятно ли решение?

Авторизуйся, чтобы посмотреть решение

Активируй TG-бот через QR-код или по кнопке
Введи код авторизации из TG-бота

Активировать TG-бот

Задание №16777 Задание №20311 Задание №20326 Задание №17233

Бесплатно

Скачивай наш Тренажер ЕГЭ на iPhone или Android и тренируйся в любое время и в любом месте!