Задание №96495 ЕГЭ Профильной математике

а)  Да, например, среди чисел в диапазоне от 29 до 116 числа 50, 75 и 100 кратны 25, а числа 29, 58, 87, 116 кратны 29.

б)  Нет. Разобьем все числа на группы по 25, начиная с первого числа. Тогда в каждой группе будет ровно одно число, кратное 25. Заметим, что последняя группа возможно будет неполной и/или не будет содержать число, кратное 25. Значит, общее количество чисел не превосходит Теперь рассмотрим крайние числа, кратные 29. Пусть это 29x и 29y Тогда   — иначе чисел не 11  — и что невозможно для 274 чисел.

в)  Пусть среди данных чисел есть x кратных 25, тогда общее количество чисел не больше 25x + 24 (см. пункт б). C другой стороны, разность между крайними числами, кратными 29, должна быть не менее 29x, поэтому общее количество чисел не меньше 29x + 1. Имеем:

то есть

Взять 149 чисел можно. Например, подойдут числа от 26 до 174  — среди них 6 чисел кратны 29 и 5 чисел кратны 25.

Ответ: а)  да, б)  нет, в)  149.