Задание №96668 ЕГЭ Профильной математике

а)  Да, это возможно. Например, можно из чисел 2, 7, 3 сделать числа 26, 79, 3.

б)  Нет. Учитывая замечание, сделанное в начале решения, получим уравнение или что невозможно, поскольку сумма чисел всегда не меньше их количества, а следовательно, откуда то есть Противоречие.

в)  Рассмотрим частное новой суммы и старой:

Видно, что C должно быть сделано как можно меньше, поэтому можно считать, что в третьей группе лишь одно число (иначе перенесем одно из чисел из третьей группы во вторую). Аналогично при переносе числа из первой группы во вторую числитель дроби увеличится, а знаменатель не изменится. Значит, и в первой группе должно быть лишь одно число. Далее, если число в третьей группе не минимальное из всех, то его выгодно обменять местами с минимальным (это не повлияет на знаменатель, но увеличит числитель), а затем заменить на единицу (это уменьшит знаменатель и не изменит числитель). Имеем:

При фиксированном y следует сделать знаменатель дроби как можно меньше. Для этого на роль чисел, составляющих A и B, следует взять наименьшие возможные, то есть Получим:

Найдем значения полученного выражения при различных y:

Докажем, что при прочих y ответ тоже будет меньше, чем 11,6. Для этого изучим поведение второго слагаемого. Пусть Найдем производную:

При найденная производная отрицательна, функция f убывает, а потому при ее значения меньше, чем значение при

Итак, наибольшее возможное увеличение суммы составляет 11,6 исходной величины и достигается, например, для чисел, 1, 2, 3, 4, 5, которые превращаются в 1, 26, 39, 49, 59 с суммой

Ответ: а)  да, б)  нет, в)  в 11,6 раза.