Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся, что нам известно, и как мы можем использовать эту информацию.
Дано:
- Длина окружности круга: ( 2\sqrt{85}\pi )
- Одна сторона вписанного прямоугольника: ( a = 14 )
Найти:
- Другую сторону прямоугольника: ( b )
Шаг 1: Найти радиус круга
Сначала найдем радиус круга. Длина окружности ( C ) выражается формулой:
[
C = 2\pi r
]
где ( r ) — радиус круга. Мы можем приравнять выражения:
[
2\pi r = 2\sqrt{85}\pi
]
Теперь, делим обе стороны на ( 2\pi ):
[
r = \sqrt{85}
]
Шаг 2: Определить стороны прямоугольника
Прямоугольник, вписанный в круг, имеет свои стороны, равные ( a ) и ( b ). По свойству вписанного прямоугольника, его диагональ равна диаметру круга.
Сначала найдем диаметр ( D ) круга:
[
D = 2r = 2\sqrt{85}
]
Шаг 3: Использовать теорему Пифагора
Теперь мы используем теорему Пифагора для прямоугольника:
[
D^2 = a^2 + b^2
]
Подставим уже известные значения:
[
(2\sqrt{85})^2 = 14^2 + b^2
]
Посчитаем ( (2\sqrt{85})^2 ):
[
4 \cdot 85 = 340
]
Таким образом, у нас есть уравнение:
[
340 = 14^2 + b^2
]
Теперь вычисляем ( 14^2 ):
[
14^2 = 196
]
Подставим это значение в уравнение:
[
340 = 196 + b^2
]
Шаг 4: Решить уравнение относительно ( b^2 )
Теперь найдем ( b^2 ):
[
b^2 = 340 - 196
]
[
b^2 = 144
]
Теперь достанем ( b ):
[
b = \sqrt{144} = 12
]
Ответ
Таким образом, другая сторона прямоугольника равна ( 12 ).
