Для нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 5 см, 6 см и 7 см, мы будем использовать следующие формулы:
- Радиус вписанной окружности (r):
[ r = \frac{S}{p} ]
где:
- ( S ) — площадь треугольника,
- ( p ) — полупериметр треугольника.
- Радиус описанной окружности (R):
[ R = \frac{abc}{4S} ]
где:
- ( a, b, c ) — стороны треугольника.
Шаг 1: Находим полупериметр ( p ).
Полупериметр вычисляется по формуле:
[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 6 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ см} ]
Шаг 2: Находим площадь ( S ) треугольника.
Мы можем использовать формулу Герона для нахождения площади треугольника:
[ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} ]
где ( a = 5 ), ( b = 6 ), ( c = 7 ), ( p = 9 ):
[ S = \sqrt{9(9 - 5)(9 - 6)(9 - 7)} = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} ]
[ S = \sqrt{9 \times 24} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6} \text{ см}^2 ]
(Для приближенного значения: ( S \approx 14.7 \text{ см}^2 ))
Шаг 3: Находим радиус вписанной окружности ( r ).
Используем формулу:
[ r = \frac{S}{p} = \frac{6\sqrt{6}}{9} = \frac{2\sqrt{6}}{3} \text{ см} ]
(Приблизительно: ( r \approx 1.63 \text{ см} ))
Шаг 4: Находим радиус описанной окружности ( R ).
Используем формулу:
[ R = \frac{abc}{4S} = \frac{5 \times 6 \times 7}{4 \times 6\sqrt{6}} ]
Сначала находим произведение сторон:
[ 5 \times 6 \times 7 = 210 ]
Используем уже найденную площадь ( S = 6\sqrt{6} ):
[ R = \frac{210}{24\sqrt{6}} = \frac{35}{4\sqrt{6}} ]
Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим и числитель, и знаменатель на ( \sqrt{6} ):
[ R = \frac{35\sqrt{6}}{24} \text{ см} ]
(Приблизительно: ( R \approx 3.58 \text{ см} ))
Таким образом, радиусы окружностей составляют:
- Радиус вписанной окружности ( r \approx 1.63 \text{ см} ).
- Радиус описанной окружности ( R \approx 3.58 \text{ см} ).
