4. Вычислите радиусы вписанной и описанной около треугольника окружностей, если известно, что стороны треугольника равны 5, 6 и 7 см.
Для нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 5 см, 6 см и 7 см, мы будем использовать следующие формулы:
- Радиус вписанной окружности (r): \[ r = \frac{S}{p} \] где:
- \( S \) — площадь треугольника,
- \( p \) — полупериметр треугольника.
- Радиус описанной окружности (R): \[ R = \frac{abc}{4S} \] где:
- \( a, b, c \) — стороны треугольника.
Шаг 1: Находим полупериметр \( p \). Полупериметр вычисляется по формуле: \[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 6 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ см} \]
Шаг 2: Находим площадь \( S \) треугольника. Мы можем использовать формулу Герона для нахождения площади треугольника: \[ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \] где \( a = 5 \), \( b = 6 \), \( c = 7 \), \( p = 9 \): \[ S = \sqrt{9(9 - 5)(9 - 6)(9 - 7)} = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} \] \[ S = \sqrt{9 \times 24} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6} \text{ см}^2 \] (Для приближенного значения: \( S \approx 14.7 \text{ см}^2 \))
Шаг 3: Находим радиус вписанной окружности \( r \). Используем формулу: \[ r = \frac{S}{p} = \frac{6\sqrt{6}}{9} = \frac{2\sqrt{6}}{3} \text{ см} \] (Приблизительно: \( r \approx 1.63 \text{ см} \))
Шаг 4: Находим радиус описанной окружности \( R \). Используем формулу: \[ R = \frac{abc}{4S} = \frac{5 \times 6 \times 7}{4 \times 6\sqrt{6}} \] Сначала находим произведение сторон: \[ 5 \times 6 \times 7 = 210 \] Используем уже найденную площадь \( S = 6\sqrt{6} \): \[ R = \frac{210}{24\sqrt{6}} = \frac{35}{4\sqrt{6}} \] Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим и числитель, и знаменатель на \( \sqrt{6} \): \[ R = \frac{35\sqrt{6}}{24} \text{ см} \] (Приблизительно: \( R \approx 3.58 \text{ см} \))
Таким образом, радиусы окружностей составляют:
- Радиус вписанной окружности \( r \approx 1.63 \text{ см} \).
- Радиус описанной окружности \( R \approx 3.58 \text{ см} \).
