Реши пожалуйста данные задачи

Question

Answer

Для решения задач логики нам нужно последовательно разобраться с каждой из них.

Задача 1: Построить таблицу истинности

Формула: $(B \land A) \lor (\overline{B} \land C)$.

Создадим таблицу истинности для этой формулы. У нас есть три переменные: $A$, $B$, и $C$. Поэтому всего будет $2^3 = 8$ строк в таблице:

A |
B |
C |
$B \land A$ |
$\overline{B}$ |
$\overline{B} \land C$ |
$(B \land A) \lor (\overline{B} \land C)$ |

0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |

0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |

0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |

0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |

1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |

1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |

1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |

1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |

Задача 2: Проверка равносильности

Формулы:

$F_1 = X \land (Y \rightarrow Z)$

$F_2 = (X \land Y) \rightarrow (X \land Z)$

Сначала преобразуем импликации ($\rightarrow$):
$Y \rightarrow Z$ эквивалентно $\overline{Y} \lor Z$.

Проверим равенство с помощью таблицы истинности:

0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |

0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |

0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |

0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |

1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |

1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |

1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |

1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |

Формулы не равносильны, так как значения столбцов не совпадают для $X = 1, Y = 1, Z = 0$.

Задача 3: Упростить логическое выражение

a)

Выражение: $\overline{A} \lor [A \land (X \land Y)]$

Упрощаем:
$$
\overline{A} \lor (A \land X \land Y) = (\overline{A} \lor A) \land (\overline{A} \lor X \land Y)
$$
Замечаем, что $\overline{A} \lor A = 1$, поэтому выражение упрощается до:
$$
1 \land (\overline{A} \lor X \land Y) = \overline{A} \lor (X \land Y)
$$

b)

Выражение: $A \lor ((A \lor C) \land \overline{A} \lor A \lor C)$

Упрощаем:
$$
A \lor ((A \lor C) \land \overline{A} \lor A \lor C) = A \lor (A \lor C) = A \lor C
$$

Теперь вышеупомянутые упрощения и решения завершены.

A	B	C	\(B \land A\)	\(\overline{B}\)	\(\overline{B} \land C\)	\((B \land A) \lor (\overline{B} \land C)\)
0	0	0	0	1	0	0
0	0	1	0	1	1	1
0	1	0	0	0	0	0
0	1	1	0	0	0	0
1	0	0	0	1	0	0
1	0	1	0	1	1	1
1	1	0	1	0	0	1
1	1	1	1	0	0	1

X	Y	Z	\(Y \rightarrow Z\)	\(X \land (Y \rightarrow Z)\)	\(X \land Y\)	\(X \land Z\)	\((X \land Y) \rightarrow (X \land Z)\)
0	0	0	1	0	0	0	1
0	0	1	1	0	0	0	1
0	1	0	0	0	0	0	1
0	1	1	1	0	0	0	1
1	0	0	1	1	0	0	1
1	0	1	1	1	0	1	1
1	1	0	0	0	1	0	0
1	1	1	1	1	1	1	1

X	Y	Z	\(Y \rightarrow Z\)	\(X \land (Y \rightarrow Z)\)	\(X \land Y\)	\(X \land Z\)	\((X \land Y) \rightarrow (X \land Z)\)
0	0	0	1	0	0	0	1
0	0	1	1	0	0	0	1
0	1	0	0	0	0	0	1
0	1	1	1	0	0	0	1
1	0	0	1	1	0	0	1
1	0	1	1	1	0	1	1
1	1	0	0	0	1	0	0
1	1	1	1	1	1	1	1

X	Y	Z	\(Y \rightarrow Z\)	\(X \land (Y \rightarrow Z)\)	\(X \land Y\)	\(X \land Z\)	\((X \land Y) \rightarrow (X \land Z)\)
0	0	0	1	0	0	0	1
0	0	1	1	0	0	0	1
0	1	0	0	0	0	0	1
0	1	1	1	0	0	0	1
1	0	0	1	1	0	0	1
1	0	1	1	1	0	1	1
1	1	0	0	0	1	0	0
1	1	1	1	1	1	1	1

X	Y	Z	\(Y \rightarrow Z\)	\(X \land (Y \rightarrow Z)\)	\(X \land Y\)	\(X \land Z\)	\((X \land Y) \rightarrow (X \land Z)\)
0	0	0	1	0	0	0	1
0	0	1	1	0	0	0	1
0	1	0	0	0	0	0	1
0	1	1	1	0	0	0	1
1	0	0	1	1	0	0	1
1	0	1	1	1	0	1	1
1	1	0	0	0	1	0	0
1	1	1	1	1	1	1	1