найдите общий вид первообразных для функции f(x)=√-2x+5

Для нахождения общего вида первообразных функции \( f(x) = \sqrt{-2x + 5} \) сначала определим, что первообразная функции \( f(x) \) – это функция \( F(x) \), производная которой равна \( f(x) \). Мы будем искать \( F(x) \) с помощью интегрирования.

Шаг 1: Преобразование функции

Сначала преобразим \( f(x) \): \[ f(x) = \sqrt{-2x + 5} \] Это можно переписать в виде: \[ f(x) = (-2x + 5)^{1/2} \]

Шаг 2: Применение подстановки

Чтобы упростить процесс интегрирования, мы воспользуемся методом подстановки. Обозначим: \[ u = -2x + 5 \] Тогда найдем производную \( u \): \[ \frac{du}{dx} = -2 \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{du}{-2} \]

Шаг 3: Изменение пределов интегрирования

Теперь подставим \( u \) в интеграл: \[ f(x) = \sqrt{u} \quad \text{и} \quad dx = \frac{du}{-2} \]

Следовательно, наш интеграл будет выглядеть следующим образом: \[ \int \sqrt{-2x + 5} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{du}{-2} = -\frac{1}{2} \int \sqrt{u} \, du \]

Шаг 4: Интегрирование функции

Теперь мы можем найти интеграл: \[ \int \sqrt{u} \, du = \int u^{1/2} \, du = \frac{u^{3/2}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} u^{3/2} \] Подставляем обратно: \[ -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} = -\frac{1}{3} u^{3/2} \] Теперь возвращаемся к переменной \( x \): \[ -\frac{1}{3} (-2x + 5)^{3/2} \]

Шаг 5: Добавление константы интегрирования

Не забудем добавить произвольную константу \( C \): \[ F(x) = -\frac{1}{3} (-2x + 5)^{3/2} + C \]

Итог

Таким образом, общий вид первообразной для функции \( f(x) = \sqrt{-2x + 5} \) равен: \[ F(x) = -\frac{1}{3} (-2x + 5)^{3/2} + C \]

где \( C \) – произвольная константа интегрирования.