Давайте решим задачу о прямоугольном треугольнике ABC, в котором известны следующие данные:
- Длина стороны AB = 12 см (это один из катетов).
- Угол A = 30°.
Мы хотим найти длину стороны BC (гипотенуза).
Шаг 1: Понимание прямоугольного треугольника
В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°, а остальные два угла - острые. В данном случае угол A = 30°, а угол B = 90°. Угол C будет равен 60°, так как сумма углов в треугольнике равна 180°:
А + B + C = 180°
30° + 90° + C = 180°
C = 180° - 120° = 60°.
Шаг 2: Использование тригонометрических функций
Для нахождения длины гипотенузы (BC) мы можем использовать основное тригонометрическое соотношение для угла A (30°):
[
\sin(A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}
]
В нашем случае противолежащим катетом будет сторона AB (12 см), а гипотенуза – сторона BC, которую мы ищем.
Шаг 3: Запись формулы
[
\sin(30°) = \frac{AB}{BC}
]
Теперь подставим значения:
[
\sin(30°) = \frac{12}{BC}
]
Зная, что (\sin(30°) = \frac{1}{2}), можно записать:
[
\frac{1}{2} = \frac{12}{BC}
]
Шаг 4: Решение уравнения
Чтобы найти BC, умножим обе стороны уравнения на BC и 2:
[
BC = 12 \cdot 2
]
[
BC = 24 \text{ см}
]
Ответ
Таким образом, длина гипотенузы BC составляет 24 см.
