47) Площадь прямоугольного треугольника равна 128√3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы. 48) площадь прямоугольного треугольника равна (338√3)/3. Один из…

Давайте разберем каждую из задач по отдельности и подробно объясним каждое решение.

Задача 47

Условия:
Площадь прямоугольного треугольника равна \(128\sqrt{3}\). Один из острых углов равен \(30^\circ\). Нужно найти длину гипотенузы.

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] где \(a\) и \(b\) — катеты треугольника. Если один из острых углов равен \(30^\circ\), то можно считать, что:

• Катет напротив угла \(30^\circ\) равен \( \frac{1}{2} \cdot g \), где \(g\) — длина гипотенузы.
• Катет, прилежащий к углу \(30^\circ\), равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot g\).

Обозначим:

• \(a = \frac{1}{2}g\) (катет напротив угла \(30^\circ\))
• \(b = \frac{\sqrt{3}}{2}g\) (катет, прилежащий к углу \(30^\circ\))

Теперь подставим выражения для катетов в формулу площади: \[ S = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}g\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}g\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}g^2 = \frac{\sqrt{3}}{8}g^2 \] Мы знаем, что площадь равна \(128\sqrt{3}\), значит: \[ \frac{\sqrt{3}}{8}g^2 = 128\sqrt{3} \]

Теперь умножим обе стороны уравнения на \(8\): \[ \sqrt{3}g^2 = 1024\sqrt{3} \] Теперь разделим обе стороны на \(\sqrt{3}\): \[ g^2 = 1024 \]

Теперь найдём \(g\): \[ g = \sqrt{1024} = 32 \]

Ответ: Длина гипотенузы равна \(32\).

Задача 48

Условия:
Площадь прямоугольного треугольника равна \(\frac{338\sqrt{3}}{3}\). Один из острых углов равен \(60^\circ\). Нужно найти длину катета, лежащего напротив этого угла.

Решение:

Для прямоугольного треугольника с углом \(60^\circ\):

• Катет, напротив угла \(60^\circ\), равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot g \), где \(g\) — длина гипотенузы.
• Катет, прилежащий к углу \(60^\circ\), равен \( \frac{1}{2}g\).

Обозначим:

• \(a = \frac{\sqrt{3}}{2}g\) (катет напротив угла \(60^\circ\))
• \(b = \frac{1}{2}g\) (катет, прилежащий к углу \(60^\circ\))

Теперь подставим в формулу площади: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}g\right) \cdot \left(\frac{1}{2}g\right) = \frac{\sqrt{3}}{8}g^2 \] Мы знаем, что площадь равна \(\frac{338\sqrt{3}}{3}\): \[ \frac{\sqrt{3}}{8}g^2 = \frac{338\sqrt{3}}{3} \]

Умножим обе стороны на \(8\): \[ \sqrt{3}g^2 = \frac{2704\sqrt{3}}{3} \] Теперь делим обе стороны на \(\sqrt{3}\): \[ g^2 = \frac{2704}{3} \]

Теперь найдем \(g\): \[ g = \sqrt{\frac{2704}{3}} = \frac{52}{\sqrt{3}} = \frac{52\sqrt{3}}{3} \]

Найдем катет напротив угла \(60^\circ\): \[ a = \frac{\sqrt{3}}{2}g = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{52\sqrt{3}}{3} = \frac{52 \cdot 3}{6} = 26 \]

Ответ: Длина катета, лежащего напротив угла \(60^\circ\), равна \(26\).

Задача 49

Условия:
Площадь прямоугольного треугольника равна \(24\sqrt{3}\). Один из острых углов равен \(30^\circ\). Нужно найти длину катета, прилежащего к этому углу.

Решение:

По аналогии с предыдущими задачами, если один из углов равен \(30^\circ\):

• Катет напротив угла \(30^\circ\) равен \( \frac{1}{2} \cdot g\), где \(g\) — длина гипотенузы.
• Катет, прилежащий к углу \(30^\circ\), равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot g\). Обозначим этот катет как \(b\).

Подставим в формулу площади: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] где \(a = \frac{1}{2}g\) и \(b = \frac{\sqrt{3}}{2}g\): \[ S = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}g\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}g\right) = \frac{\sqrt{3}}{8}g^2 \] Согласно условию, площадь равна \(24\sqrt{3}\): \[ \frac{\sqrt{3}}{8}g^2 = 24\sqrt{3} \]

Умножаем обе стороны на \(8\): \[ \sqrt{3}g^2 = 192\sqrt{3} \] Делим на \(\sqrt{3}\): \[ g^2 = 192 \] Находим \(g\): \[ g = \sqrt{192} = 8\sqrt{3} \]

Теперь найдем катет \(b\): \[ b = \frac{\sqrt{3}}{2}g = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 8\sqrt{3} = \frac{8 \cdot 3}{2} = 12 \]

Ответ: Длина катета, прилежащего к углу \(30^\circ\), равна \(12\).