Давайте разберем вашу задачу шаг за шагом.
Мы ищем двузначное число, которое обозначим как ( 10a + b ), где ( a ) — это первая цифра (десятки), а ( b ) — вторая цифра (единицы). Из условия задачи нам известно, что вторая цифра на 1 меньше первой, то есть:
[
b = a - 1
]
Теперь мы можем выразить число с учетом этого соотношения:
[
10a + b = 10a + (a - 1) = 11a - 1
]
Следовательно, наше двузначное число будет:
[
10a + b = 11a - 1
]
Теперь учтем условие о сумме квадратов:
Сначала найдем, как выглядит число, полученное путем перестановки его цифр:
Это число ( 10b + a ).
Теперь, по условию задачи, сумма квадратов задуманного числа и числа, полученного при перестановке:
[
(10a + b)^2 + (10b + a)^2 = 585
]
Подставим в выражение ( b = a - 1 ):
[
(10a + (a - 1))^2 + (10(a - 1) + a)^2 = 585
]
Упрощаем первое слагаемое:
[
(10a + a - 1)^2 = (11a - 1)^2
]
А во втором слагаемом:
[
(10(a - 1) + a)^2 = (10a - 10 + a)^2 = (11a - 10)^2
]
Таким образом, у нас получилось:
[
(11a - 1)^2 + (11a - 10)^2 = 585
]
Теперь считаем:
[
(11a - 1)^2 = 121a^2 - 22a + 1
]
[
(11a - 10)^2 = 121a^2 - 220a + 100
]
Сложим эти два выражения:
[
(121a^2 - 22a + 1) + (121a^2 - 220a + 100) = 585
]
[
242a^2 - 242a + 101 = 585
]
Теперь вычтем 585 из обеих сторон:
[
242a^2 - 242a + 101 - 585 = 0
]
[
242a^2 - 242a - 484 = 0
]
Теперь упростим уравнение, разделив все коэффициенты на 242:
[
a^2 - a - 2 = 0
]
Решим это квадратное уравнение. Мы можем разложить его на множители:
[
(a - 2)(a + 1) = 0
]
Отсюда получаем два значения для ( a ):
[
a = 2 \quad \text{или} \quad a = -1
]
Так как ( a ) — это цифра, она не может быть отрицательной, и остается только:
[
a = 2
]
Теперь найдем ( b ):
[
b = a - 1 = 2 - 1 = 1
]
Таким образом, задуманное число:
[
10a + b = 10 \cdot 2 + 1 = 21
]
Проверим:
- Переставив цифры, получаем 12.
- Считаем сумму квадратов: ( 21^2 + 12^2 = 441 + 144 = 585).
Ответ: задуманное число — 21.
