Задумали двузначное число. При перестановке цифр этого числа сумма квадратов полученного числа и задуманного числа оказалась равна 585. Найдите задуманное число, если известно,…

Давайте разберем вашу задачу шаг за шагом.

Мы ищем двузначное число, которое обозначим как \( 10a + b \), где \( a \) — это первая цифра (десятки), а \( b \) — вторая цифра (единицы). Из условия задачи нам известно, что вторая цифра на 1 меньше первой, то есть: \[ b = a - 1 \]

Теперь мы можем выразить число с учетом этого соотношения: \[ 10a + b = 10a + (a - 1) = 11a - 1 \]

Следовательно, наше двузначное число будет: \[ 10a + b = 11a - 1 \]

Теперь учтем условие о сумме квадратов: Сначала найдем, как выглядит число, полученное путем перестановки его цифр: Это число \( 10b + a \).

Теперь, по условию задачи, сумма квадратов задуманного числа и числа, полученного при перестановке: \[ (10a + b)^2 + (10b + a)^2 = 585 \] Подставим в выражение \( b = a - 1 \): \[ (10a + (a - 1))^2 + (10(a - 1) + a)^2 = 585 \] Упрощаем первое слагаемое: \[ (10a + a - 1)^2 = (11a - 1)^2 \] А во втором слагаемом: \[ (10(a - 1) + a)^2 = (10a - 10 + a)^2 = (11a - 10)^2 \] Таким образом, у нас получилось: \[ (11a - 1)^2 + (11a - 10)^2 = 585 \]

Теперь считаем: \[ (11a - 1)^2 = 121a^2 - 22a + 1 \] \[ (11a - 10)^2 = 121a^2 - 220a + 100 \]

Сложим эти два выражения: \[ (121a^2 - 22a + 1) + (121a^2 - 220a + 100) = 585 \] \[ 242a^2 - 242a + 101 = 585 \]

Теперь вычтем 585 из обеих сторон: \[ 242a^2 - 242a + 101 - 585 = 0 \] \[ 242a^2 - 242a - 484 = 0 \]

Теперь упростим уравнение, разделив все коэффициенты на 242: \[ a^2 - a - 2 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Мы можем разложить его на множители: \[ (a - 2)(a + 1) = 0 \] Отсюда получаем два значения для \( a \): \[ a = 2 \quad \text{или} \quad a = -1 \]

Так как \( a \) — это цифра, она не может быть отрицательной, и остается только: \[ a = 2 \]

Теперь найдем \( b \): \[ b = a - 1 = 2 - 1 = 1 \] Таким образом, задуманное число: \[ 10a + b = 10 \cdot 2 + 1 = 21 \]

Проверим:

• Переставив цифры, получаем 12.
• Считаем сумму квадратов: \( 21^2 + 12^2 = 441 + 144 = 585\).

Ответ: задуманное число — 21.