f(x) =x4-2x3+3 [-4;3]
Давайте разберем предложенную задачу, в которой дана функция \( f(x) = x^4 - 2x^3 + 3 \) и интервал \( [-4; 3] \).
Шаг 1: Определение функции
Функция, которую мы изучаем, это многочлен четвертой степени. Она состоит из трех членов:
- \( x^4 \) — это основной член, который определяет поведение функции при больших значениях \( x \).
- \( -2x^3 \) — это член с третьей степенью, который влияет на наклон функции.
- \( +3 \) — это свободный член, который сдвигает график функции вверх на 3 единицы.
Шаг 2: Нахождение производной
Для анализа функции полезно найти ее производную, чтобы понять, где функция увеличивается или уменьшается. Находим производную \( f'(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^3 + 3) = 4x^3 - 6x^2 \]
Шаг 3: Нахождение критических точек
Для нахождения критических точек установим производную равной нулю:
\[ 4x^3 - 6x^2 = 0 \]
Факторизуем:
\[ 2x^2(2x - 3) = 0 \]
Это уравнение имеет два типа решений:
- \( 2x^2 = 0 \) → \( x = 0 \)
- \( 2x - 3 = 0 \) → \( x = \frac{3}{2} \)
Таким образом, критические точки — это \( x = 0 \) и \( x = \frac{3}{2} \).
Шаг 4: Проверка знаков производной
Теперь проверим, на интервале \( [-4; 3] \), где производная положительна, а где отрицательна:
Для \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( f'(-1) = 4(-1)^3 - 6(-1)^2 = -4 - 6 = -10 < 0 \) → функция убывает.
Для \( 0 < x < \frac{3}{2} \) (например, \( x = 1 \)): \( f'(1) = 4(1)^3 - 6(1)^2 = 4 - 6 = -2 < 0 \) → функция убывает.
Для \( x > \frac{3}{2} \) (например, \( x = 2 \)): \( f'(2) = 4(2)^3 - 6(2)^2 = 32 - 24 = 8 > 0 \) → функция возрастает.
Шаг 5: Анализ на границах интервала
Теперь нам нужно вычислить значение функции на границах интервала \( [-4, 3] \):
На границе \( x = -4 \): \[ f(-4) = (-4)^4 - 2(-4)^3 + 3 = 256 + 64 + 3 = 323 \]
На границе \( x = 3 \): \[ f(3) = (3)^4 - 2(3)^3 + 3 = 81 - 54 + 3 = 30 \]
Шаг 6: Нахождение значений в критических точках
Теперь найдем значения функции в критических точках:
В \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^3 + 3 = 3 \]
В \( x = \frac{3}{2} \): \[ f\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^4 - 2\left(\frac{3}{2}\right)^3 + 3 = \frac{81}{16} - 2 \cdot \frac{27}{8} + 3 \] \[ = \frac{81}{16} - \frac{54}{8} + \frac{48}{16} = \frac{81}{16} - \frac{108}{16} + \frac{48}{16} = \frac{21}{16} \approx 1.3125 \]
Шаг 7: Подведение итогов
Теперь у нас есть значения функции в границах интервала и критических точках:
- \( f(-4) = 323 \)
- \( f(0) = 3 \)
- \( f\left(\frac{3}{2}\right) \approx 1.3125 \)
- \( f(3) = 30 \)
Теперь мы можем сделать вывод о максимуме и минимуме на заданном интервале:
- Максимум: \( f(-4) = 323 \)
- Минимум: \( f\left(\frac{3}{2}\right) \approx 1.3125 \)
Заключение
Таким образом, на интервале \( [-4; 3] \) функция достигает максимума в \( x = -4 \) и минимума в \( x = \frac{3}{2} \).
