Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
- В классе 30 учеников.
- Учитель выбирает 3 учеников случайным образом.
- Вероятность, что конкретный ученик заинтересован в участии, равна 0,4.
- Требуется найти вероятность, что среди выбранных 3 учеников будет ровно двое заинтересованы.
Шаг 1: Обозначаем события и условности
Пусть вероятность заинтересованности одного ученика — ( p = 0.4 ).
Тогда вероятность, что ученик не заинтересован — ( q = 1 - p = 0.6 ).
Нас интересует вероятность того, что среди выбранных 3 учеников ровно два заинтересованы.
Так как дети выбираются случайно, можно предположить, что вероятность заинтересованности каждого отдельного ученика — одинаковая и независимая от других, что немного упрощает задачу.
Шаг 2: Вычисление модели — биномиальная вероятностная модель
Можно описать задачу с помощью биномиального распределения:
[ P(k \text{ заинтересованных}) = C(n, k) \times p^k \times q^{n-k} ]
Где:
- ( n = 3 ) — число выбранных учеников,
- ( k = 2 ) — число заинтересованных учеников, которых мы хотим получить,
- ( p = 0.4 ),
- ( q = 0.6 ).
Шаг 3: По формуле вычислим вероятность
Вероятность, что из 3 выбранных ровно двое заинтересованы:
[
P_{\text{ровно 2}} = C(3, 2) \times p^2 \times q^{1}
]
Где ( C(3, 2) ) — число сочетаний из 3 по 2:
[
C(3, 2) = \frac{3!}{2! \times 1!} = 3
]
Подставим значения:
[
P = 3 \times (0.4)^2 \times (0.6)
]
Вычисляем:
[
P = 3 \times 0.16 \times 0.6 = 3 \times 0.096 = 0.288
]
Ответ:
Вероятность того, что среди трёх выбранных учеников будет ровно двое заинтересованы — около 0,288, или 28,8%.
