Реши это

Давайте подробно решим задачу. **Дана система неравенств:** 1. \(-x^2 + 2x + 1 \leq 2\) 2. \(-x + 2 \geq 2\) Также нам нужно определить, для какого числового промежутка принадлежит \(m\) (прямая \(y=m\)), когда она пересекается с графиком обеими точками, то есть равно двум точкам. --- ### Шаг 1. Решим первое неравенство: \(-x^2 + 2x + 1 \leq 2\) Перенесем 2 в левую часть: \[ -x^2 + 2x + 1 - 2 \leq 0 \] \[ -x^2 + 2x -1 \leq 0 \] Домножим обе части на -1 (так как знак неравенства при умножении на отрицательное число меняется на противоположный): \[ x^2 - 2x + 1 \geq 0 \] Обратим внимание, что выражение \(x^2 - 2x + 1\) — это свернутая форма квадратичного выражения: \[ (x - 1)^2 \geq 0 \] Это выражение всегда больше или равно нулю для любых \(x\). **Следовательно, условие выполняется для всех \(x\).** --- ### Шаг 2. Решим второе неравенство: \(-x + 2 \geq 2\) Перенесем 2 вправо: \[ -x \geq 0 \] \[ x \leq 0 \] Итак, вторая часть ограничивает \(x\) значением: \[ x \leq 0 \] --- ### Итог по системе: - Первая часть — всякое \(x\), потому что она всегда выполнена. - Вторая часть — \(x \leq 0\). Объединяя оба условия, получаем: \[ x \leq 0 \] --- ### Шаг 3. Построение графика \(y = m\) Для прямой \(y = m\): - Она пересекает график функции, если есть точки пересечения. - Точки пересечения идут в тех частях области, где x удовлетворяет неравенствам, а уравнение для функции при этом выполняется. Так как при \(x \leq 0\) функция всегда соответствует условию, и количество точек пересечения зависит от того, при каком \(x\) (менее или равно нулю) и какую горизонтальную прямую мы ищем. --- ### Шаг 4. Ответ на вопрос о количестве общих точек Нам нужно понять, при каком \(\textbf{числовом промежутке}\), связанном с \(m\), прямой \(y = m\) пересекает график ровно в двух точках. - Так как функция — полином второй степени, ее график — парабола. - Парабола \(f(x) = -x^2 + 2x + 1\) — ветви вниз (ведь коэффициент при \(x^2\) отрицателен). Пересечение с горизонтальной линией: \[ -x^2 + 2x + 1 = m \] или \[ -x^2 + 2x + 1 - m = 0 \] или \[ x^2 - 2x - (1 - m) = 0 \] уравнение квадратное. Чтобы уравнение имело **ровно две решения**, дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-(1 - m))) = 4 - 4 \times ( - (1 - m))) = 4 + 4(1 - m) = 4 + 4 - 4m = 8 - 4m \] должен быть больше нуля (две точки пересечения): \[ 8 - 4m > 0 \implies 8 > 4m \implies 2 > m \] Если дискриминант равен нулю, то есть одна точка пересечения (касание), то при \(D=0\): \[ 8 - 4m = 0 \implies m=2 \] При \(m>2\), решений нет, при \(m=2\) — одна точка, при \(m<2\) — две точки. --- ### Итоговая информация: - Пряма \(y=m\) пересекает график ровно **в двух точках** тогда и только тогда, когда: \[ m < 2 \] --- ### Ответ: **числовой промежуток:** \[ (-\infty; 2) \] Это — вариант 1, который представлен в ответах, и он соответствует условию. --- ### Итбщий вывод: **Правильный ответ:** \[ \boxed{(-\infty; 0) \cup [1; 2)} \quad \text{(по варианту в задании)} \] Из анализа — самый точный — это промежуток \(m < 2\). --- Если у вас возникнут вопросы или нужен еще более развернутый разбор, пишите!