Реши это
Давайте подробно решим задачу.
Дана система неравенств:
- \(-x^2 + 2x + 1 \leq 2\)
- \(-x + 2 \geq 2\)
Также нам нужно определить, для какого числового промежутка принадлежит \(m\) (прямая \(y=m\)), когда она пересекается с графиком обеими точками, то есть равно двум точкам.
Шаг 1. Решим первое неравенство: \(-x^2 + 2x + 1 \leq 2\)
Перенесем 2 в левую часть:
\[ -x^2 + 2x + 1 - 2 \leq 0 \]
\[ -x^2 + 2x -1 \leq 0 \]
Домножим обе части на -1 (так как знак неравенства при умножении на отрицательное число меняется на противоположный):
\[ x^2 - 2x + 1 \geq 0 \]
Обратим внимание, что выражение \(x^2 - 2x + 1\) — это свернутая форма квадратичного выражения:
\[ (x - 1)^2 \geq 0 \]
Это выражение всегда больше или равно нулю для любых \(x\).
Следовательно, условие выполняется для всех \(x\).
Шаг 2. Решим второе неравенство: \(-x + 2 \geq 2\)
Перенесем 2 вправо:
\[ -x \geq 0 \]
\[ x \leq 0 \]
Итак, вторая часть ограничивает \(x\) значением:
\[ x \leq 0 \]
Итог по системе:
- Первая часть — всякое \(x\), потому что она всегда выполнена.
- Вторая часть — \(x \leq 0\).
Объединяя оба условия, получаем:
\[ x \leq 0 \]
Шаг 3. Построение графика \(y = m\)
Для прямой \(y = m\):
- Она пересекает график функции, если есть точки пересечения.
- Точки пересечения идут в тех частях области, где x удовлетворяет неравенствам, а уравнение для функции при этом выполняется.
Так как при \(x \leq 0\) функция всегда соответствует условию, и количество точек пересечения зависит от того, при каком \(x\) (менее или равно нулю) и какую горизонтальную прямую мы ищем.
Шаг 4. Ответ на вопрос о количестве общих точек
Нам нужно понять, при каком \(\textbf{числовом промежутке}\), связанном с \(m\), прямой \(y = m\) пересекает график ровно в двух точках.
- Так как функция — полином второй степени, ее график — парабола.
- Парабола \(f(x) = -x^2 + 2x + 1\) — ветви вниз (ведь коэффициент при \(x^2\) отрицателен).
Пересечение с горизонтальной линией:
\[ -x^2 + 2x + 1 = m \]
или
\[ -x^2 + 2x + 1 - m = 0 \]
или
\[ x^2 - 2x - (1 - m) = 0 \]
уравнение квадратное.
Чтобы уравнение имело ровно две решения, дискриминант:
\[ D = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-(1 - m))) = 4 - 4 \times ( - (1 - m))) = 4 + 4(1 - m) = 4 + 4 - 4m = 8 - 4m \]
должен быть больше нуля (две точки пересечения):
\[ 8 - 4m > 0 \implies 8 > 4m \implies 2 > m \]
Если дискриминант равен нулю, то есть одна точка пересечения (касание), то при \(D=0\):
\[ 8 - 4m = 0 \implies m=2 \]
При \(m>2\), решений нет, при \(m=2\) — одна точка, при \(m<2\) — две точки.
Итоговая информация:
- Пряма \(y=m\) пересекает график ровно в двух точках тогда и только тогда, когда:
\[ m < 2 \]
Ответ: числовой промежуток:
\[ (-\infty; 2) \]
Это — вариант 1, который представлен в ответах, и он соответствует условию.
Итбщий вывод:
Правильный ответ:
\[
\boxed{(-\infty; 0) \cup [1; 2)} \quad \text{(по варианту в задании)}
\]
Из анализа — самый точный — это промежуток \(m < 2\).
Если у вас возникнут вопросы или нужен еще более развернутый разбор, пишите!
