Давайте решим задачу поэтапно, подробно объясняя каждый шаг.
Дано:
- Общий ток, идущий к щитку: (I_{общ} = 8,8, \text{А})
- В первой группе подключены 5 ламп, каждая с сопротивлением (R_1 = 250, \text{Ом}), соединены параллельно.
- Во второй группе подключены 10 ламп, каждая с сопротивлением (R_2 = 300, \text{Ом}), также соединены параллельно.
Что нужно найти:
Ток в каждой группе ((I_1) и (I_2)).
Шаг 1. Определим сопротивление каждой параллельной группы
Параллельное соединение одинаковых резисторов даёт общее сопротивление:
[
\frac{1}{R_{группы}} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{R_i}
]
где (n) — число ламп в группе.
Для первой группы (5 ламп по 250 Ом):
[
\frac{1}{R_1} = 5 \times \frac{1}{250} = \frac{5}{250} = \frac{1}{50}
]
Следовательно,
[
R_1 = 50, \text{Ом}
]
Для второй группы (10 ламп по 300 Ом):
[
\frac{1}{R_2} = 10 \times \frac{1}{300} = \frac{10}{300} = \frac{1}{30}
]
Следовательно,
[
R_2 = 30, \text{Ом}
]
Шаг 2. Найдём сопротивление каждой группы и их доли в общем токе
Общий ток делится между двумя группами по закону деления по сопротивлению:
[
I_1 = \frac{R_2}{R_1 + R_2} \times I_{общ}
]
[
I_2 = \frac{R_1}{R_1 + R_2} \times I_{общ}
]
но сначала более корректно определить, какой ток идёт в каждую группу, исходя из их сопротивлений. В случае параллельных цепей, для определения тока в каждой группе проще использовать закон Ома:
[
I_1 = \frac{U}{R_1}, \quad I_2 = \frac{U}{R_2}
]
Чтобы найти напряжение на группе, воспользуемся тем, что сумма токов равна общему:
[
I_{общ} = I_1 + I_2
]
И суммарное напряжение на обеих группах неизвестно, но поскольку они соединены параллельно, напряжение на них одинаковое, тогда:
[
I_1 = \frac{U}{R_1}, \quad I_2 = \frac{U}{R_2}
]
Итак,
[
I_{общ} = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2} = U \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)
]
Отсюда напряжение (U):
[
U = \frac{I_{общ}}{\displaystyle \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}}
]
Подставим числовые значения:
[
\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{50} + \frac{1}{30} = \frac{3}{150} + \frac{5}{150} = \frac{8}{150} = \frac{4}{75}
]
Следовательно,
[
U = \frac{8,8}{\displaystyle \frac{4}{75}} = 8,8 \times \frac{75}{4} = 8,8 \times 18.75 = 165, \text{В}
]
Это — напряжение на каждую группу.
Шаг 3. Найдём ток в каждой группе
Теперь:
[
I_1 = \frac{U}{R_1} = \frac{165}{50} = 3,3, \text{А}
]
[
I_2 = \frac{U}{R_2} = \frac{165}{30} = 5,5, \text{А}
]
Проверим сумму:
[
I_1 + I_2 = 3,3 + 5,5 = 8,8, \text{А}
]
Совпадает с исходным общим током, всё корректно.
Ответ:
- Ток в первой группе: (\boxed{3,3, \text{A}})
- Ток во второй группе: (\boxed{5,5, \text{A}})
Если возникнут дополнительные вопросы, можете обращаться!
