Угол между двумя касательными, проведёнными из одной точки к окружности, равен  6 5 ∘ 65 ∘ . Найди градусную меру меньшей из дуг, заключённых между точками касания.

Давайте подробно решим задачу по геометрии. У нас есть окружность и две касательные, проведённые из одной точки к окружности. Известно, что угол между этими касательными равен 65°, нужно найти меру меньшей дуги, лежащей между точками касания. --- ### Шаг 1. Что знаем? - Пусть **Т** — точка, из которой проведены касательные к окружности. - Обозначим точки касания как **A** и **B**. - Угол между касательными из точки Т: ∠(ТА, ТБ) = 65°. - Нужно найти **меньшую дугу AB** (ее градусную меру). --- ### Шаг 2. Свойства касательных и окружности - Касательные к окружности из одной точки равны по длине. - Угол между двумя касательными, проведёнными из точки Т к окружности, равен углу между касательными, соединёнными с центром окружности (**O**) и точками касания. - Важно! **Обозначим радиусы, проведённые к точкам касания, как OA и OB**. Тогда: - **OA** и **OB** — радиусы, перпендикулярные касательным в точках касания. --- ### Шаг 3. Связь углов Угол ∠(ТА, ТБ) — это внешний угол к треугольнику, образованному радиусами и касательными. Рассмотрим треугольник **OT** (общая точка касания) и окружность: - **Т** — внешняя точка. - **A** и **B** — точки касания. ### Шаг 4. Оформление решения Обозначим: - Пусть **M** — середина дуги AB, то есть точка, которая делит дугу AB пополам. - Рассмотрим окружность и два радиуса **OA** и **OB** (касающиеся точки). Известно, что угол между касательными из точки **T**, ∠(TA, TB) = 65°, а точки касания **A** и **B** лежат на окружности. По теореме о касательных: - Угол между касательными (∠(TA, TB)) равен половине разности градусов между дугами **AB**: \[ ∠(TA, TB) = 90^\circ - \frac{1}{2} \text{(мера дуги AB)} \] или более точно: - Угол между касательными равен половине угла, образуемого радиусами, проведёнными к точкам касания, а через центральные углы. --- ### Шаг 5. Формула угла между касательными и дугой Из свойств окружности: \[ ∠(TA, TB) = 90^\circ - \frac{1}{2} \text{(дуга AB)} \] или переформулируем: \[ \text{дуга AB} = 2(90^\circ - ∠(TA, TB)) \] Подставляя известное значение ∠(TA, TB) = 65°: \[ \text{дуга AB} = 2(90^\circ - 65^\circ) = 2 \times 25^\circ = 50^\circ \] --- ### **Ответ:** **Меньшая дуга между точками касания равна 50°**. --- Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробно объяснить — спрашивайте!