Угол между двумя касательными, проведёнными из одной точки к окружности, равен 6 5 ∘ 65 ∘ . Найди градусную меру меньшей из дуг, заключённых между точками касания.

Давайте подробно решим задачу по геометрии. У нас есть окружность и две касательные, проведённые из одной точки к окружности. Известно, что угол между этими касательными равен 65°, нужно найти меру меньшей дуги, лежащей между точками касания.

Шаг 1. Что знаем?

• Пусть Т — точка, из которой проведены касательные к окружности.
• Обозначим точки касания как A и B.
• Угол между касательными из точки Т: ∠(ТА, ТБ) = 65°.
• Нужно найти меньшую дугу AB (ее градусную меру).

Шаг 2. Свойства касательных и окружности

• Касательные к окружности из одной точки равны по длине.

• Угол между двумя касательными, проведёнными из точки Т к окружности, равен углу между касательными, соединёнными с центром окружности (O) и точками касания.

• Важно! Обозначим радиусы, проведённые к точкам касания, как OA и OB. Тогда:

  • OA и OB — радиусы, перпендикулярные касательным в точках касания.

Шаг 3. Связь углов

Угол ∠(ТА, ТБ) — это внешний угол к треугольнику, образованному радиусами и касательными.

Рассмотрим треугольник OT (общая точка касания) и окружность:

• Т — внешняя точка.
• A и B — точки касания.

Шаг 4. Оформление решения

Обозначим:

• Пусть M — середина дуги AB, то есть точка, которая делит дугу AB пополам.
• Рассмотрим окружность и два радиуса OA и OB (касающиеся точки).

Известно, что угол между касательными из точки T, ∠(TA, TB) = 65°, а точки касания A и B лежат на окружности.

По теореме о касательных:

• Угол между касательными (∠(TA, TB)) равен половине разности градусов между дугами AB:

  \[ ∠(TA, TB) = 90^\circ - \frac{1}{2} \text{(мера дуги AB)} \]

или более точно:

• Угол между касательными равен половине угла, образуемого радиусами, проведёнными к точкам касания, а через центральные углы.

Шаг 5. Формула угла между касательными и дугой

Из свойств окружности:

\[ ∠(TA, TB) = 90^\circ - \frac{1}{2} \text{(дуга AB)} \]

или переформулируем:

\[ \text{дуга AB} = 2(90^\circ - ∠(TA, TB)) \]

Подставляя известное значение ∠(TA, TB) = 65°:

\[ \text{дуга AB} = 2(90^\circ - 65^\circ) = 2 \times 25^\circ = 50^\circ \]

Ответ:

Меньшая дуга между точками касания равна 50°.

Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробно объяснить — спрашивайте!