Шест высотой 1,5 м, установленный вертикально недалеко от уличного фонаря, отбрасывает тень длиной 1 м. Если перенести шест дальше от фонаря на 1 м, то длина тени возрастет до 1,5 м. На какой высоте находится фонарь?

Давайте решим эту задачу поэтапно, используя понятия подобия треугольников. **Условия задачи:** - Высота шеста \( h_s = 1{,}5\,м \) - Первая длина тени \( l_1 = 1\,м \) - При переносе шеста дальше на 1 м от исходной позиции, длина тени увеличивается до 1,5 м \( l_2 = 1{,}5\,м \) - Расстояние от фонаря до исходного положения шеста — \( d \) (неизвестно) - Высота фонаря — \( H \) (ищем) --- ### Шаг 1: Анализ ситуации Когда шест стоит на определённом расстоянии \( d \) от фонаря, тень образует треугольник, где: - Высота треугольника — высота шеста \( 1{,}5\,м \) - Длина тени — \( 1\,м \) - Расстояние до источника света — \( d \) Логично предположить, что источник света — это фонарь, и его лучи, падая на вершину шеста и на конец тени, образуют подобные треугольники. Значит, при первой позиции: \[ \frac{h_s}{l_1} = \frac{H}{d - l_1} \] где \( d - l_1 \) — расстояние от фонаря до конца тени. В этой формуле мы рассматриваем треугольник, образованный высотой фонаря и длиной тени. --- ### Шаг 2: Запишем отношение для первой позиции: \[ \frac{1.5}{1} = \frac{H}{d - 1} \] Отсюда: \[ H = \frac{1.5}{1} \times (d - 1) = 1.5(d - 1) \] --- ### Шаг 3: Аналогично для второй позиции: После перемещения шеста на 1 метр дальше, его позиция относительно фонаря возросла на 1 м: - Новое расстояние до фонара: \( d + 1 \) - Новая длина тени — \( 1,5\,м \) Тогда: \[ \frac{1.5}{1.5} = \frac{H}{(d + 1) - 1.5} \] Но тут стоит обратить внимание: длина тени увеличилась, а высота останется той же самой, ведь фонарь не движется. **Важно:** при втором положении тень увеличилась, а расстояние между точками — на 1 м. Используя те же пропорции: \[ \frac{\text{высота фонаря}}{\text{расстояние от фонара до конца тени}} = \frac{H}{d + 1 - l_2} \] но так как позиция шеста перемещена на 1 м — расстояние до источника света увеличилось, и тень стала длиной 1,5 м. Используем подход аналогично: \[ \frac{H}{d + 1 - 1.5} = \frac{1.5}{1.5} \] \[ \Rightarrow H = 1.5 \times (d + 1 - 1.5) = 1.5(d - 0.5) \] --- ### Шаг 4: Получаем систему уравнений: Из первого варианта: \[ H = 1.5(d - 1) \] Из второго —: \[ H = 1.5(d - 0.5) \] Приравниваем: \[ 1.5(d - 1) = 1.5(d - 0.5) \] Упрощая: \[ d - 1 = d - 0.5 \] Отсюда: \[ -1 = -0.5 \] Что невозможно, значит, в наших предположениях есть ошибка — необходимо перепроверить логику. --- ### **Пересмотр и уточнение:** На самом деле, при переносе шеста дальше от фонаря тень увеличивается — это подтверждает, что источник света светит сверху, и отношение подобия треугольников характеризует их соотношением высоты и длины тени. Пусть: - \( H \) — высота фонаря - \( x \) — первоначальное расстояние от фонаря до шеста - Тогда для первой позиции: \[ \frac{H}{x} = \frac{1.5}{1} \Rightarrow H = 1.5x \] - После перемещения шеста дальше на 1 м: \[ x + 1 \] - Новая длина тени — 1,5 м: \[ \frac{H}{x + 1} = \frac{1.5}{1.5} = 1 \Rightarrow H = x + 1 \] Но из первого уравнения: \[ H = 1.5x \] А из второго: \[ H = x + 1 \] Приравниваем: \[ 1.5x = x + 1 \Rightarrow 0.5x = 1 \Rightarrow x = 2\,м \] Теперь подставим \( x \) в выражение для \( H \): \[ H = 1.5 \times 2 = 3\,м \] --- ### **Ответ:** Фонарь находится на высоте **3 метра**. --- Если вам нужно более подробное объяснение или есть дополнительные вопросы — скажите!