Давайте решим задачу о количестве способов купить 120 открыток, если в магазине есть 10 видов открыток и неограниченное их количество можно приобретать.
Задача:
Сколько способов выбрать 120 открыток, если есть 10 видов открыток, и каждый вид можно покупать в неограниченном количестве?
Шаг 1: Представление задачи в математической форме
Это задача на нахождение числа комбинаций с повторениями.
Можно представить результат как задачу о разбиениях числа 120 на 10 ящиков (видов открыток), где количество открыток каждого вида — неотрицательное целое число.
Обозначим:
- ( x_1, x_2, \dots, x_{10} ) — количество открыток каждого вида.
Тогда:
[
x_1 + x_2 + \dots + x_{10} = 120,
]
где каждый ( x_i \geq 0 ).
Шаг 2: Использование формулы для количества решений
Общее число неотрицательных целочисленных решений уравнения
[
x_1 + x_2 + \dots + x_{n} = k
]
равно:
[
C(n + k - 1, k),
]
где ( C(a, b) ) — число сочетаний (комбинаторных выборов), равное:
[
C(a, b) = \frac{a!}{b!(a - b)!}.
]
В нашем случае:
Итак, число способов:
[
C(10 + 120 - 1, 120) = C(129, 120).
]
Шаг 3: Запись окончательного ответа
Ответ: Количество способов купить 120 открыток равно ( C(129, 120) ).
или, пользуясь свойствами сочетаний:
[
C(129, 120) = C(129, 9),
]
так как ( C(n, k) = C(n, n-k) ).
Итог:
[
\boxed{
\text{Количество способов} = C(129, 9).
}
]
Это — итоговое число способов выбрать 120 открыток из 10 видов.
Если потребуется численный результат, его можно вычислить с помощью калькулятора или программных средств, так как это довольно большое число.
